Ricorrenza

[ficus2002]

Sia $f_n$ la successione definita per ricorrenza nell'intervallo $I=[1,+oo)$ ponendo:
$f_0(x)=x$
$f_{n+1}(x)=f_n(x)^2+1$
Provare che $\root{2^n}{f_n}$ converge puntualmente in $I$ e, detta $f$ il suo limite, provare che
$f(x)=x+1/(2x)+1/(8x^3)-5/(16x^5)+O(1/x^7)$.

EDIT: Corretto un segno nel testo.

[Thomas16]

eccolo, il nostro patito delle equazioni per ricorrenza ...

ps: risultato esteticamente mooolto bello!!... come al solito

[ficus2002]

"Thomas":eccolo, il nostro patito delle equazioni per ricorrenza ...

ps: risultato esteticamente mooolto bello!!... come al solito

Come fai a sapere che mi piacciono le eq definite per ricorrenza???

[ficus2002]

Suggerimento: Per provare che $\root{2^n}{f_n(x)}$ converge puntualmente in $I=[0, +oo)$, è sufficiente osservare che:

$f_n(x)\in I$ per ogni $x\in I$ e $n\in NN$.
$f_n^2\le f_{n+1}\le 2f_n^2$ per ogni $x\in I$ e $n\in NN$.[/list:u:1okh3jma]

[Thomas16]

con un pò di fatica ho trovato qualcosina....

--convergenza puntuale:

- per verifica diretta la successione $u_n=f_n^(1/(2n))$ è crescente;

- usando il suggerimento per induzione si verifica che:

$x
da cui, per ogni m, $x
Essendo la successione crescente e limitata, possiede limite. In particolare la dis ci dice anche che:

$f(x)=x+O(x)$

-- seconda parte

$x^2+1=x^2(1+1/x^2)$

se applichiamo la relazione ricorsiva solo elevando al quadrato e maggiorando ponendo ad 1 gli altri fattori (in realtà sto elevando sempre alla seconda come nel suggerimento di ficus2002, ma partendo da $f_1$), si ottiene che:

$f_n(x)>=x^(2^n)(1+1/x^2)^(2^(n-1))$

da cui

$u_n(x)>=x(1+1/x^2)^((2^(n-1)/2^n)$

e visto che sappiano che $u_n$ converge passando al limite:

$f(x)>=x(1+1/x^2)^(1/2)$

da qui con uno sviluppo in serie di Taylor si dovrebbe cavar qualcosa, ma non mi escono i coefficienti corretti (questo non vuol dire nulla, infatti un coefficiente per essere utilizzabile dovrebbe comparire anche nella minorazione della f(x)... in effetti viene corretto solo il primo coefficiente...), quindi evito di postare...

L'obiettivo era seguire poi lo stesso procedimento per trovare una minorazione per $f(x)$ (ho una mezza idea di maggiorare un certo fattore con due) e poi magari raffinare le stime per trovare più precisione... ma mi interesserebbe sapere se è questa la via corretta, visto che ne ho provate altre rivelatesi fallimentari

ps: vinco un premio per l'ora in cui ho postato???

[ficus2002]

Prima di tutto complimenti
convergenza puntuale:

"Thomas":- per verifica diretta la successione $u_n=f_n^(1/(2n))$ è crescente;

Esatto. Faccio osservare, anche, che ciò è conseguenza della disuguaglianza $f_n^2(x)\le f_{n+1}(x)$, che di fatto implica
$u_n\leq u_{n+1}$.

"Thomas":- usando il suggerimento per induzione si verifica che:

$x
da cui, per ogni m, $x
Essendo la successione crescente e limitata, possiede limite. In particolare la dis ci dice anche che:

$f(x)=x+O(x)$

Perfetto.

A qusto punto per trovare i coefficienti dello sviluppo, io non ho proceduto con maggiorazioni e minorazioni. Però, il procedimento che ho usato io non garantisce immediamente la convergenza. In particolare, ho dimostrato prima che
$u_n(x)=x+1/(2x)+1/(8x^3)-5/(16x^5)+r_n(x)$
con $r_n(x)\in O(1/x^7)$ per ogni $n$. Per poi devo far vedere che $r_n(x)\to r(x)$ e $r(x)\in O(1/x^7)$.

Sinceramente il procedimento che hai usato tu mi sembra più veloce del mio perchè dimostri subito la convergenza ossia fai direttamente lo sviluppo di $f$ (mentre io ho sviluppato prima $u_n$).

Per applicare il metodo che ho usato io, seggrisco:

effettuare la sostituzione $g_n(x)=(f_n(x))/(x^(2^n))$ e sostitutire $t=1/(x^2)$.
Eseguo lo sviluppo di Mac-Laurin di $g_n(t)$.
Definisco $h_n=\root{2^n}{g_n}$ e dallo sviluppo di $g_n$ ricavo lo sviluppo di $h_n$[/list:u:268v2qgk]
[/quote]

[Thomas16]

Provo ancora un attimo a seguire la mia via, per vedere dove arrivo da solo.... ... cmq grazie mille per la traccia ficus2002... e per i complimenti!!

Per la minorazione si può provare ad usare la seguente stima. Ora la scrivo,dopo controllo che sia corretta e magari la giustifico:

$u_n(x)<=x(1+1/x^2)^(1/2)(1+1/x^(2^2))^(1/2^2)...(1+1/(x^(2^n) ))^(1/(2^n))$

usando che:

$(1+1/(x^(2^n)))^(1/(2^n))=1+1/(2^nx^(2^n))+O(1/x^(2^n))$

si ha, svolgendo la sommatoria e passando al limite in modo forse poco formale ma cmq consideriamo questo msg una brutta copia per vedere se almeno potrebbe funzionare il metodo:

$u(x)<=x+1/(2x)+O(1/x)$

ma con la dis del post precedente, se ricordo bene quanto ottenuto ieri sera:

$u(x)>=x+1/(2x)+O(1/x)$

da cui

$u(x)=x+1/(2x)+O(1/x)$

e forse il secondo coefficiente è stato finalmente trovato ... o no??

Il problema è se si riesce a tirare fuori anche gli altri...

[ficus2002]

Si, il secondo coefficiente è giusto! Ed è anche interessante questa stima che hai trovato
$u_n(x)<=x(1+1/x^2)^(1/2)(1+1/x^(2^2))^(1/2^2)...(1+1/(x^(2^n) ))^(1/(2^n))$
Solo una cosa: nello sviluppo
$(1+1/(x^(2^n)))^(1/(2^n))=1+1/(2^nx^(2^n))+O(1/x^(2^n))$
il resto $O(1/x^(2^n))$ è, a priori dipendente da $n$, cioè andrebbe scritto $O_n(1/x^(2^n))$;
Cmq tutto il resto è Ok

[Thomas16]

In ogni caso, ho rinunciato a continuare a seguire il mio metodo, che richiederebbe stime ancora migliori per tirare fuori i nuovi coefficienti.

Conviene fare come fai tu, e considerare subito solo valori grandi di x per poi mandare n all'infinito, invece che tenere fisso x ed n, ricavare qualche stima le poi sviluppare la stima. E' ovvio che sviluppando la stima non avrò mai la stessa precisione che sviulppando prima.
E anche la sostituzione che fai te è abbastanza naturale...

capito come avrei dovuto ragionare, forse, posto lo sviluppo in serie di McLaurin per $g_n(t)$.

$g_n(t)=1+2^(n-1)t+(2^(n-2)n)t^2+2^(2n-3)(n-2)t^3+O(t^3)$

il resto in effetti dovrebbero essere calcoli... torna questo risultato?


ps: spero che non ti dispiaccia questo metodo un pò "accompagnato" di risoluzione esercizi, ficus2002, ma da solo credo che non sarei arrivato da nessuna parte ...

[ficus2002]

"Thomas":...posto lo sviluppo in serie di McLaurin per $g_n(t)$.

$g_n(t)=1+2^(n-1)t+(2^(n-2)n)t^2+2^(2n-3)(n-2)t^3+O(t^3)$

il resto in effetti dovrebbero essere calcoli... torna questo risultato?

non mi tornano i coefficienti di $t^2$ e $t^3$, dovrebbero essere $1/8 2^(2n)$ e $1/3 2^n(1/16 2^(2n)-1)$.

La parte difficile, però arriva adesso... detto $h=lim_{n\to \infty} \root{2^n}{g_n}$, bisogna dimostrare che $h$ è derivabile almeno $3$ volte con continuità, quindi sviluppabile secondo Mac-Laurin fino al terzo ordine.. Fatto questo, i coefficienti dello sviluppo di Mac-Laurin si possono ricavare da quelli di $g_n$.

"Thomas":
ps: spero che non ti dispiaccia questo metodo un pò "accompagnato" di risoluzione esercizi, ficus2002, ma da solo credo che non sarei arrivato da nessuna parte ...

Non preoccuparti; è molto difficile questo problema

EDIT:Corretto il coefficiente $b_n$

[Thomas16]

forse dovevo mettermi a fare i calcoli in un'ora più umana... ho azzeccato solo il ceofficiente più stupido... strano però... mi sembrava andasse... beh ora cerco l'errore... poi pian piano andrò avanti... oramai è una questione personale

[Thomas16]

BOH.. non trovo l'errore... posto quindi tutti i calcoli...

$t=1/x^2$

$f_n/x^(2^n)=g_n$

la relazione funzionale per la g diventa:

$g_(n+1)=(g_n)^2+t^(2^n)$

$g_0=1$

I primi casi li faccio a mano:

$g_1=1+t$ , $g_2=2t^2+2t+1$

supponiamo $g_(n-1)=1+a_(n-1)t+b_(n-1)t^2+c_(n-1)t^3+O(t^3)$

allora vista la relazione funzionale se $n>2$ il fattore aggiunto è un $O(t^3)$ e quindi non conta:

ci sono quindi 3 relazioni ricorsive:

$a_n=2a_(n-1)$
$b_n=a_(n-1)^2+2b_(n-1)$
$c_n=2c_(n-1)+2a_(n-1)b_(n-1)$

sciogliendo una equazionione alla volta il sistema con i dati iniziali dati da $g_1$ e $g_2$ si ottiene:

$a_n=2^(n-1)$
$b_n=2^(2n-3)$
$c_n=2^n*(2^(2n-4)-1)/3$

ok ho trovato l'errore mentre scrivevo... avevo sbagliato il calcolo di $b_n$ (non avevo elevato al quadrato $a_(n-1)$ e quindi di conseguenza... ok si può proseguire... ... anche se in effetti il fattore $b_n$ mi viene diverso dal tuo... ma credo sia un errore di scrittura visto che $c_n$ coincide...

[ficus2002]

Ok i coefficienti sono uguali ai miei
Ora bisogna studiare la convergenza della funzione $h_n=\root{2^n}{g_n}$ e quindi, dallo sviluppo di $g_n$ dedurre quello di $h$.