Rettangolo inscritto a un triangolo

[Drazen77]

All'interno di questo triangolo acutangolo è stato inscritto il rettangolo dalla massima area possibile.
Qual è il rapporto tra l'area del triangolo e l'area del rettangolo?

[curie88]

Il rapporto è $2$?

[Drazen77]

Sì, l'area del rettangolo è esattamente la metà dell'area del triangolo di partenza.
domani pubblicherò la spiegazione.

[curie88]

Io ho proceduto così:

Se si pone $x$ la base e $y$ l-altezza, di uno dei due rettangoli divisi dall-altezza, si ha per la similitudine:
$y/(b-x)=(h-y)/x$, con $b$ ed $h$, rispettivamente base e altezza, costanti del triangolo, da cui l'area:
$area=(h/b)(b-x)x$
Parabola con vertice: $x=b/2$, quindi si ricava conseguentemente $y=h/2$, e l'area del rettangolo è $bh/4$,
infine il rapporto viene $2$, poiché il ragionamento è analogo per l'altro triangolo,il rapporto totale è sempre $2$.

Ciao.

[dan952]

triangolini laterali + quello sopra =rettangolo

[Drazen77]

Il rettangolo di area massima ha esattamente la metà dell'altezza del triangolo. In questo caso, come ha detto dan95...

[axpgn]

Piccolo particolare: dove sta scritto che quello è il rettangolo inscrivibile di area massima? Cioè voi avete dimostrato che quel triangolo lì è la metà del triangolo ...

[Drazen77]

Che quello sia il rettangolo dalla massima area possibile era scritto nei dati del problema.

[axpgn]

@Drazen77
Scusami ma la cosa ha poco senso ...

Tu come fai a dire che quella che hai postato è la soluzione? Hai misurato i lati? Sei andato ad "occhio" (che è la stessa cosa di misurare)? Se così fosse (e di fatto così è) significa che il dato "rettangolo inscrivibile di area massima" è superfluo, potevano fare a meno di scriverlo oppure potevano disegnare un rettangolo diverso che tanto per te era lo stesso ... )

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Giusto per non "andare a occhio" proverò a costruire la figura con AutoCAD e a rilevare i dati.
Lascerò parlare i numeri.

[axpgn]

Non è quella la questione ... se si risolve "misurando" l'informazione "area massima" non serve ... se invece è necessaria allora va prima trovata la formula per "l'area massima" e poi confrontata con l'area del triangolo ...

[Drazen77]

Sì, è un'informazione necessaria, perché tra gli infiniti rettangoli inscrivibili, quello di area massima è l'unico che soddisfi il rapporto di 2:1.

[curie88]

"axpgn":Piccolo particolare: dove sta scritto che quello è il rettangolo inscrivibile di area massima? Cioè voi avete dimostrato che quel triangolo lì è la metà del triangolo ...

Ciao axpgn, spero tu ti riferisca in particolare a Drazen77 e a dan95, infatti, nella mia dimostrazione ho considerato un triangolo scaleno qualsiasi, come in figura, ma che ha inscritto un rettangolo ben definito, quello di area massima.
Quindi per qualsiasi triangolo scaleno si può dire che esso, ha area doppia del suo rettangolo inscritto di area massima.
Ho detto scaleno, ma è possibile che valga anche per i triangoli rettangoli, per gli isosceli vale certamente.
Se noti ho tenuto costanti le misure della base e dell-altezza del triangolo. Saluti.

[axpgn]

@Drazen77
Se è necessaria allora quella che hai postato non è la soluzione nel senso che non è altro che la misurazione dei vari "pezzi" ma non si dimostra perché proprio quella sia la forma del rettangolo di area massima.

@curie88
Sì mi riferivo a loro però non ho capito la tua soluzione, forse perché non ho compreso i tuoi riferimenti (parli anche di due rettangoli ma non vedo il secondo ...)

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Chiedo perdono: sono andato lungo con l'aperitivo, sono mezzo ciucco e sono fuori casa.
Questo potrebbe spiegare la logica che c'è dietro:

http://matepratica.it/2012/03/massimi-e ... ma-11.html

[curie88]

@axpgn i due rettangoli si formano non appena tracci l'altezza della base orizzontale.
Ho praticamente suddiviso il problema in due.
Se si fanno i calcoli si ottiene che ciascun rettangolo è la meta del triangolo che lo contiene, di conseguenza il rettangolo intero è la metà del triangolo intero:

Infatti io ho ricavato:

$A_{t1}/A_{r1}=A_{t2}/A_{r2}=2$
$A_{t1}/A_{t2}=A_{r1}/A_{r2}=1/2$

Per la proprietà del comporre:
$(A_{t1}+A_{t2})/A_{t2}=(A_{r1}+A_{r2})/A_{r2}$

Da cui:
$A_{t1}+A_{t2}={A_{r1}+A_{r2}} * A_{t_2}/A_{r2}$

Cioè:
AreaTriangoloIntero = AreaRettangoIntero*$2$

[axpgn]

@Drazen77
Alla faccia!
Io che ti avevo detto?

"axpgn":... se invece è necessaria allora va prima trovata la formula per "l'area massima" e poi confrontata con l'area del triangolo ...

Nel link l'$80%$ riguarda il prima e il resto il poi ...

Comunque ho dato un'occhiata e mi sono fermato subito: in base a cosa si afferma che $A_2=xy$ ?

Non rispondere adesso, è meglio se lo fai con calma in un momento migliore ... ... non preoccuparti, ho pazienza ...

@curie88
Ti chiederei, se fosse possibile, di denominare sul disegno i vari segmenti con la tua nomenclatura ...

Cordialmente, Alex

[dan952]

Ho indovinato perché proprio come Ramanujan ho la capacità di vedere la soluzione

[curie88]

Per me non è possibile comporre un disegno in questo momento; comunque $x$ e $y$ sono rispettivamente la base e l'altezza di uno dei due rettangoli che si formano dividendo quello
in figura, pubblicato da drazen77, tracciando l'altezza di base.
$t1$e $t2$ sono rispettivamente le aree del primo e del secondo triangolo, sempre ottenuti dividendo il primo.
$r1$ e $r2$ analogamente le aree dei rettangoli.
$h$ è l'altezza in comune e $b$ la base prima assegnata al primo rettangolo ed in seguito per analogia al secondo senza bisogno di ripetere i calcoli.
Per quanto riguarda i calcoli e la procedura ti invito a rileggere la mia seconda risposta, in effetti non ero stato completo nel descrivere
la soluzione.
Saluti.

[axpgn]

"curie88":

Se si pone $x$ la base e $y$ l-altezza, di uno dei due rettangoli divisi dall-altezza, si ha per la similitudine:
$y/(b-x)=(h-y)/x$, con $b$ ed $h$, rispettivamente base e altezza, costanti del triangolo,

Sinceramente non capisco da dove salti fuori questa formula ...

Guarda questo triangolo ...

Secondo le tue denominazioni qui avresti $x=3, y=3, b=8, h=6$ ... non mi pare che i conti tornino (tra l'altro $x$ potrebbe valere anche $1$ secondo quello che hai detto mentre gli altri parametri sarebbero costanti, il che conduce ad un assurdo)

Cordialmente, Alex

[curie88]

$x,y,h$ sono quelli che hai scritto, ma $b$ è la base del semi triangolo, non misura $8$ ma $6$, se vedi a sinistra di $h$ e $2$ a destra(ripetendo i calcoli ma non c'è bisogno)
In effetti non mi ero accorto che nella prima risposta non ho specificato il triangolo di cui si
parla, ma in seguito potrebbe capirsi.
La similitudine che ho riportato, si riferìsce ai due triangoli più piccoli e rettangoli...a sinistra di h.