Rettangolo inscritto a un triangolo

[Drazen77]

All'interno di questo triangolo acutangolo è stato inscritto il rettangolo dalla massima area possibile.
Qual è il rapporto tra l'area del triangolo e l'area del rettangolo?

[veciorik]

Se volete metto un disegno, ma prima provo con le parole.

Qualsiasi rettangolo inscritto ha la stessa area del parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza del rettangolo.
Considero il parallelogramma il cui lato obliquo destro coincide parzialmente con il lato destro del triangolo.
Tagliando via il parallelogramma dal triangolo restano due triangolini [hl]simili[/hl] tra loro e simili al triangolone.
La somma delle basi dei triangolini è uguale alla base del triangolone. Idem per le altezze.
Sia $ \quad x \quad $ il rapporto tra le dimensioni lineari di un qualsiasi triangolino e le corrispondenti del triangolone.
L'altro triangolino ha dimensioni $ \quad 1-x \quad $ nelle stesse unità.
I rapporti tra le due areole e l'area grande sono $ \quad x^2 \qquad $ e $ \qquad (1-x)^2$
La somma delle due areole $ \quad S=x^2+1-2x+x^2=1-2x(1-x) \quad $ ha minimo $ \quad S=1/2 \quad $ per $ \quad x=1/2 \quad $ (ossia la metà del triangolone). Si annulla la derivata. Oppure si nota che la parabola $ \quad x(1-x) \quad $ ha radici $ \ x=0 \ $ e $ \ x=1$
Il minimo dei triangolini corrisponde al massimo del parallelogramma, ex-rettangolo.

[axpgn]

"curie88":... In effetti non mi ero accorto che nella prima risposta non ho specificato il triangolo di cui si parla, ma in seguito potrebbe capirsi.La similitudine che ho riportato, si riferìsce ai due triangoli più piccoli e rettangoli...a sinistra di h.

curie88, ti capita troppo spesso ... ma non solo, invece di riflettere su quello che poi ti si dice, insisti ... non va bene


@veciorik
È chiaro quello che dici, non necessità di un disegno, a mio parere ... ... per quanto mi riguarda era chiaro anche prima quale fosse la soluzione ma sono intervenuto solo per evidenziare, secondo il mio punto di vista, l'approccio errato dato al problema ...

Cordialmente, Alex

[curie88]

axpgn, per il momento sono giustificato, mi risulta piuttosto laborioso rispondere col tablet, e cerco di essere sintetico....in questo caso fin troppo. Saluti.

[orsoulx]

Beh! Non è divertente che si spacci come gioco uno dei più classici problemi di massimo/minimo da scuola superiore.
Il nostro Ramanujan ha 'indovinato' perché, nel caso di una funzione banalmente di secondo grado, il max/min si trova nella posizione mediana fra due che restituiscano il medesimo valore.
Una possibile dimostrazione puramente geometrica, senza parabole o derivate, potrebbe essere la seguente.
Dividiamo, alla curie88, il disegno mediante l'altezza del triangolo e, dalla posizione intermedia, vediamo come cambia l'area di uno dei rettangoli sezioni di quello da studiare, aumentando (o diminuendo) l'altezza di una quantità finita $ \Delta h $. Facendo la differenza fra la striscia che si toglie e quella che si aggiunge, si ottiene, sempre, $ \Delta\ h cdot \Delta b $: quantità sicuramente positiva.
Ciao