Repunit

[axpgn]

Perché i numeri di questa sequenza $11, 111, 1111, ...$ non sono quadrati perfetti?


Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

Dal momento che l'ultima cifra di un'eventuale radice quadrata non potrebbe che essere $1$ o $9$ si deduce

... a 1 x
... a 1 =
-----------
... a 1 +
... a 0 +
... 0 0 +
......... =
-----------
... n 1

$n=2amod10!=1AAa$


... a 9 x
... a 9 =
-----------
... r 1 +
... s 0 +
... 0 0 +
......... =
-----------
... n 1

$n=(r+s)mod10=(9a+8+9a)mod10=[2(9a+4)]mod10!=1AAa$

[hydro1]

"axpgn":Perché i numeri di questa sequenza $11, 111, 1111, ...$ non sono quadrati perfetti?


Cordialmente, Alex

Perchè sono tutti 3 modulo 4

[axpgn]

La mia ...

$n=a_0*10^0+a_1*10^1+a_2*10^2+...$

$n^2=a_0^2*10^0+a_1^2*10^2+a_2^2*10^4+...+2a_0a_1*10^1+2a_0a_2*10^2+...+2a_1a_2*10^3+...$

$n^2=a_0^2*10^0+2a_0a_1*10^1+k*10^2$

Quindi la cifra delle unità del repunit dipende da $a_0^2$ mentre quella delle decine da $2a_0a_1$ più l'eventuale riporto.
La cifra delle unità del repunit può essere uguale a $1$ solo se $a_0=1$ o $a_0=9$, in questo caso con riporto di $8$.
In entrambi i casi la cifra delle decine del repunit è pari anche considerando il riporto quindi non può mai essere pari a $1$

Cordialmente, Alex