Radici di polinomi

[giannirecanati]

Qual è la somma delle potenze quattordicesime delle radici (eventualmente complesse) di \(\displaystyle x^7-x-1= 0 \) ?

[marco99991]

Non ho molto tempo al momento per scrivere tutti i passaggi, comunque se non ho fatto errori il risultato dovrebbe essere

7

[Gi81]

Se \(\alpha\) è una radice del polinomio \(x^7-x-1=0\), allora \(\alpha^{14}= \left(\alpha+1\right)^2\).
Siano dunque \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \alpha_6, \alpha_7 \in \mathbb{C} \) le sette radici di questo polinomio. Allora \[
\sum_{i=1}^{7} {\alpha_i}^{14} = \sum_{i=1}^{7} \left({\alpha}_{i}+1\right)^2= \sum_{i=1}^{7} {{\alpha}_{i}}^2 +2 \sum_{i=1}^{7} {\alpha}_{i} + \sum_{i=1}^{7} 1
\]
Ora,

[*:11udbo63]la somma delle radici di un polinomio monico di grado \(n\) a coefficienti reali
è uguale all'opposto del coefficiente di grado \(n-1\), dunque \(\sum\limits_{i=1}^{7} {\alpha}_{i}=0\) [/*:m:11udbo63]
[*:11udbo63]posto \(s_k :=\sum\limits_{i=1}^{7} {{\alpha}_{i}}^k\) con \(k=1,2,\ldots,7\), l'identità di Newton applicata ai polinomi ci dice che \[s_k + a_{n - 1} s_{k - 1} + ... + a_{n - k + 1} s_1 = - k a_{n - k}
\] (dove \(a_i \) è il coefficiente del termine di grado \(i\) del polinomio di partenza).
A noi interessa \(k=2\), pertanto \(s_2+a_6 s_1 = -2a_5\), cioè \(s_2=0\)[/*:m:11udbo63]
[*:11udbo63]\( \sum\limits_{i=1}^{7} 1=7\) [/*:m:11udbo63][/list:u:11udbo63]

Dunque il risultato mi viene proprio identico a quello scritto da marco999: \(7\).

[marco99991]

Esattamente Gi8, avevo fatto il tuo stesso identico ragionamento

[Gi81]

Ottimo!
Direi che si può generalizzare come discorso:

per quali $m in NN$ possiamo dire che
la somma delle potenze $2m$-esime delle radici (eventualmente complesse) di $x^m -x-1$ è pari a $m$?

[marco99991]

$m>3$; come si intuisce dalla dimostrazione del caso $m=7$ i coefficienti dei termini di grado $m-1$ e $m-2$ devono essere uguali a 0

[giannirecanati]

Il risultato che avete riportato è corretto.
Se \(\displaystyle α \) è una radice del polinomio \(\displaystyle x^7−x−1=0 \), allora \(\displaystyle α^{14}=(α+1)^2 \).
Gi8 per favore puoi spiegare meglio questa implicazione?

[Gi81]

@giannirecanati: se $alpha in CC$ è radice del polinomio $x^7-x-1$, allora $alpha^7-alpha-1=0$, cioè $alpha^7 = alpha+1$.
Dunque $alpha^14 = alpha^7 *alpha^7 = (alpha+1)(alpha+1)= (alpha+1)^2$.

@marco999: