Radici

[axpgn]

[size=150]$x=sqrt(2sqrt(2sqrt(2sqrt(2sqrt(2sqrt(2sqrt(2sqrt(2....))))))))$[/size]




Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

Sicuramente ci saranno diversi modi per dimostrarlo, ma qualcosa del genere potrebbe andare?

$x=sqrt(2sqrt(2sqrt(2....)))=lim_(n->oo)2^((2^n-1)/(2^n))=2$

[Studente Anonimo]

\[ x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots } } } } } \]

[axpgn]

Il risultato è corretto per entrambi ma ...

@SuperSquirrel

L'espressione di cui fai il limite non è equivalente a quella proposta.

@3m0o

Il risultato è equivalente ma la tua non è una dimostrazione della mia; dove sta scritto che le due siano equivalenti?

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Beh si vede ad occhio (scherzo non sono Ramanujan)
Avevo saltato la dimostrazione per lasciarla a qualcuno di interessato. Comunque
\(x_0 = \sqrt{2} \)
\( x_{n+1} = \sqrt{2 x_n} \)
Dimostriamo che la successione è crescente.
Per \( n=0 \) abbiamo che
\[ x_1 = \sqrt{2 \sqrt{2}} =\sqrt{2} \underbrace{\sqrt{\sqrt{2}}}_{\geq 1} \geq \sqrt{2} = x_0 \]

Supponiamo vero per \(n\) allora abbiamo che
\[ x_{n+1} = \sqrt{2 x_n} = \sqrt{2} \sqrt{x_n} \geq \sqrt{2} \sqrt{x_{n-1}} = \sqrt{ 2 x_{n-1} } = x_n \]

Inoltre la successione è limitata infatti
\[ x_0 \leq 2 \]
Supponiamo vero per \(n\). Abbiamo che
\[ x_{n+1} = \sqrt{2} \sqrt{x_n} \leq \sqrt{2}\sqrt{2} =2 \]
Inoltre \( 1 < x_0 \) pertanto sappiamo che la funzione converge e per l'unicità del limite chiamiamo \(x\) questo limite e abbiamo che
\[ x = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2x_n}= \sqrt{2x} \]
e risulta che
\[ x^2 - 2x = 0 \]
da cui
\( x= 0 \) oppure \(x=2 \). Per unicità del limite solo una delle due è possibile. Ma siccome la successione è crescente e \( 1 < x_0 \leq x_1 \leq \ldots \) allora il limite sarà pure \( 1
In modo analogo per la successione da me proposta ;- )
\( y_0 = \sqrt{2} \)
e \( y_{n+1} = \sqrt{2 + y_n } \)
Si scopre così che \(x=y \)

[mgrau]

Dato che l'espressione resta invariata eliminando la prima radice e il primo 2, allora si può riscrivere come
$x = sqrt(2 x) -> x^2 = 2x -> x = 2$

[axpgn]

La mia è come la tua

Se elevo al quadrato ottengo [size=150]$ x^2=2sqrt(2sqrt(2sqrt(2sqrt(2sqrt(2sqrt(2sqrt(2....))))))) $[/size]
Ma il membro di destra è pari al doppio del membro di destra nell'equazione originale quindi ho $x^2=2x$ che ha come soluzioni $0$ e $2$; però il membro di destra originale è positivo quindi $x=2$

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Non potete semplicemente sostituire così la \(x\). Rimane solamente un calcolo formale, ma dovete pure dimostrate che effettivamente ha senso. Ovvero che quel limite esiste.
Quello che voi dite è se \(x = \sqrt{2 \sqrt{2 \ldots } } \) "ha senso" allora \(x=2 \). Ma non avete provato che ha senso. È lo stesso principio di fare
\[ 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots = y \]
Allora \( xy = x+x^2 + x^3 + x^4 + \ldots \) e dunque \( xy = y-1 \) da cui \( y= \frac{1}{1-x} \)
E concludere che
\[ 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots = -1 \]

[axpgn]

"3m0o": Rimane solamente un calcolo formale, ma dovete pure dimostrate che effettivamente ha senso. Ovvero che quel limite esiste.

Lo so, anzi lo sappiamo. Ma per le formalità ci sei tu!

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

"axpgn":
Lo so, anzi lo sappiamo. Ma per le formalità ci sei tu!

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

"axpgn":@SuperSquirrel
L'espressione di cui fai il limite non è equivalente a quella proposta.

Come mai? Sono un po' arrugginito!

"axpgn":Ma il membro di destra è pari al doppio del membro di destra nell'equazione originale quindi...

In pratica nonostante la radice in meno possiamo ancora affermare che quella sequenza di radici è uguale a $x$, poiché composta da infiniti termini?

[axpgn]

@SuperSquirrel

La mia successione fa così ... [size=150]$sqrt(2)=2^(1/2), sqrt(2sqrt(2))=2^(3/4), sqrt(2sqrt(2sqrt(2)))=2^(7/8), ...$[/size], la tua invece [size=150]$2^(1/2), 2^(2/3), 2^(3/4), ...$[/size]

Eh, sì, è uno dei "paradossi" dell'infinito ... d'altronde non mi pare che l'infinito meno uno contenga meno termini dell'infinito ...
Peraltro, come dice giustamente 3m0o, vanno però tenute in conto opportune ipotesi (che in questo sono verificate quindi non c'è problema )

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

"axpgn":@SuperSquirrel
... la tua invece [size=150]$2^(1/2), 2^(2/3), 2^(3/4), ...$[/size]

[size=160]$2^((2^n-1)/(2^n))$[/size]
[size=130]$n=1=>2^(1/2)$[/size]
[size=130]$n=2=>2^(3/4)$[/size]
[size=130]$n=3=>2^(7/8)$[/size]
[size=130]$n=4=>2^(15/16)$[/size]

Cosa mi sfugge?

[axpgn]

Che ho sbagliato a fare i conti

L'hai scritto troppo piccolo!!! L'hai fatto apposta!!!

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

"axpgn":L'hai scritto troppo piccolo!!! L'hai fatto apposta!!!

Quindi l'approccio utilizzato può essere considerato corretto o manca comunque qualcosa?

[axpgn]

Per me no, non manca niente ... è vero che da una parte hai un'equazione (però con un'espressione "infinita") e dall'altra un limite quindi si dovrebbe formalizzare per bene il collegamento fra le due ma qui siamo nella stanza dei giochi quindi "dettagliamo" meno
E comunque, sentiamo cosa ne pensa 3m0o ...

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Non ci vedo problemi come ha fatto Super Squirrel.
La successione in questione è
\[ x_1 = \sqrt{2} \]
e
\[ x_{n+1} = \sqrt{2 x_n } \]

La successione di Super Squirrel
\[ y_n = 2^{(2^n-1)/2^n } \]

La successione \( \{ y_n\}_{n \in \mathbb{N}} = \{ x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) infatti per ogni \( n \in \mathbb{N} \) risulta che \( y_n = x_n \).
Per \(n =1 \) è banalmente vero.
Supponiamo vero per \(n \) allora lo è per \(n+1\) infatti
\[ x_{n+1} = \sqrt{2 x_n} = \sqrt{2y_n } = \sqrt{2}\sqrt{y_n} = 2^{1/2} 2^{(2^n-1)/2^{n+1} } = 2^{(2^n + 2^n-1)/2^{n+1} } = 2^{(2^{n+1}-1)/2^{n+1} } = y_{n+1} \]

La differenza è che per la successione di Super Squirrel si può calcolare direttamente il limite direttamente. Per la "mia" no. Quindi lui non ha bisogno di dimostrare l'esistenza del limite.

[Super Squirrel]

Chiaro, grazie!

Come già detto sono un po' arrugginito su questi aspetti più "formali"!