Radicali 1 2 3

[carlo232]

Un classico: calcolare $sqrt(1+sqrt(1+2sqrt(1+3sqrt(1+4sqrt(1+...)))))$

[_luca.barletta]

Ci provo:

dobbiamo trovare una funzione R(n) che soddisfa la ricorsione $R(n)=sqrt(1+nR(n+1))$, la soluzione al problema è R(1). Cerchiamo un risultato più generale per poi trovare il particolare che ci interessa; un risultato generale si può ottenere dal quadrato di un trinomio $(x+n+c)^2$, ho introdotto x e c per rendere il tutto il più generale possibile, sviluppiamo:

$(x+n+c)^2=x^2+(n+c)^2+2x(n+c)=cx+(n+c)^2+x^2+2nx+cx=cx+(n+c)^2+x(x+2n+c)$

quindi:

$(x+n+c)=sqrt(cx+(n+c)^2+x(x+2n+c))$

allora se poniamo $Q(0)=x+n+c$ abbiamo:

$Q(0)=sqrt(cx+(n+c)^2+xQ(1))$

ora $Q(1)^2=(x+2n+c)^2=(x+n)^2+(n+c)^2+2(x+n)(n+c)=(...)=c(x+n)+(n+c)^2+(x+n)(x+3n+c)$
quindi
$Q(1)=sqrt(c(x+n)+(n+c)^2+(x+n)Q(2))$

in generale si può mostrare, ad es. per induzione, che:
$Q(t)=sqrt(c(x+tn)+(n+c)^2+(x+tn)Q(t+1))$

abbiamo trovato la ricorsione che cercavamo, quindi per ottenere il nostro caso particolare poniamo x=1, n=1, c=0, la soluzione sarà:

$Q(0)=x+n+c=sqrt(1+sqrt(1+2sqrt(1+3sqrt(1+4sqrt(1+...)))))=2$