Quesito sull'hotel di Hilbert

[Paolo8881]

L'hotel di Hilbert contiene infinite(numerabili) stanze. Il registro dell'hotel ha la proprietà che in ogni pagina ci stia solo un numero finito di firme degli ospiti, quante pagine deve avere questo registro?

[Meringolo1]

Il numero degli ospiti diviso quello delle firme per ogni pagina?

[Paolo8881]

No, è un numero transfinito molto più grande:l'insieme delle stanze ha cardinalità $aleph0$ che è un transfinito cardinale, la cerdinalità del numerabile. Il numero di ospiti invece è un ordinale perchè gli ospiti devono rispettare l'ordine dell'hotel. Con $aleph0$ stanze l'albergo puòsistemare gli ospiti in $aleph1$ modi diversi. Per chiarire: esistono infiniti ordinali numerabili la cui grandezza (ordinale) non ha massimo ma estremo superiore:$aleph1$ pensato come ordinale e la cardinalità di quest'ultimo numero è $aleph1$ che è anche il numero di pagine del registro.