Quesito probabilistico

[giuseppe87x]

Supponiamo di scegliere a caso $5$ numeri distinti fra i primi $90$ interi positivi. Calcolare la probabilità che il loro MCD sia $5$

[vl4dster]

ci provo ma non sono per niente sicuro: se posso usare Dirichlet, il numero $p$ di coppie $a,b <= n$ tali che abbiano come MCD $i$ dovrebbe essere $p = 6/(pi^{2}i^{2})n^{2}$. Dunque la probabilita' $P_{2}$ se ho solo una coppia di numeri e' $P_{2} = (6/(pi^{2}5^{2})90^{2})/(((90),(2))) = 197/4005 ≈ 0.049$. Se considero cinque numeri distinti ho $((5),(2)) = 10$ insiemi di due elementi, dunque 10 coppie di numeri che devono avere come MCD 5. Quindi la probabilita' dovrebbe essere $(P_{2})^10$ ma mi sembra troppo piccola ?!

[MaMo2]

@ vl4d: $((5),(2))=10$
Io, usando un approccio molto più semplice, ho ottenuto $p~=0,000192$

[giuseppe87x]

@vl4d
Ho capito quello che vuoi dire, tuttavia credo si possa fare anche senza ricorrere a Dirichlet.

@MaMo
mi interesserebbe vedere il tuo approccio. A me risulta $(((18),(5))-((9),(5))-((6),(5)))/(((90),(5)))~~0.000192$ ma mi sà che manca qualcos altro al numeratore, ad es. in questo caso la cinquina ${10, 20, 40, 60, 80}$ andrebbe comunque bene.

[vl4dster]

@MaMo ho corretto, facevo $((n), (k))k!$ invece di $((n),(k))$

@giuseppe87x: conosci il risultato del problema?

[giuseppe87x]

No, purtroppo

[MaMo2]

"giuseppe87x":
......
@MaMo
mi interesserebbe vedere il tuo approccio. A me risulta $(((18),(5))-((9),(5))-((6),(5)))/(((90),(5)))~~0.000192$ ma mi sà che manca qualcos altro al numeratore, ad es. in questo caso la cinquina ${10, 20, 40, 60, 80}$ andrebbe comunque bene.

Io ho ottenuto la stessa espressione. La cinquina 10, 20, 40, 60, 80 non va bene essendo l'MCD = 10 ed è una delle $((9),(5))$ cinquine con MCD = 10 da togliere.

[giuseppe87x]

Hai ragione, mi ero confuso considerando anche i multipli di $4$ ma in realtà anche loro entrano nel computo delle $((9),(5))$ cinquine.