Quesito 1 di Febbraio 2008
Una banda di ladri vuole aprire la cassaforte di una banca. Un basista ha fatto ubriacare il direttore
della banca ed `e riuscito a sapere che:
(a) la combinazione è formata da 5 cifre da 0 a 9;
(b) la combinazione è un numero pari;
(c) esattamente una delle 5 cifre della combinazione è dispari;
(d) nella combinazione compaiono quattro cifre diverse, la cifra ripetuta `e pari e compare in due
posizioni non consecutive.
Il fatto è che non mi torna la soluzione ufficiale, metto nascosto il ragionamento.
della banca ed `e riuscito a sapere che:
(a) la combinazione è formata da 5 cifre da 0 a 9;
(b) la combinazione è un numero pari;
(c) esattamente una delle 5 cifre della combinazione è dispari;
(d) nella combinazione compaiono quattro cifre diverse, la cifra ripetuta `e pari e compare in due
posizioni non consecutive.
Il fatto è che non mi torna la soluzione ufficiale, metto nascosto il ragionamento.
Risposte
"giannirecanati":
E' proprio qui l'errore.
Dovresti dividere per $2!$
Altrimenti una combinazione di 5 numeri la conteggi due volte (scambiando i due numeri che si ripetono tra loro !!!)
C'e' comunque un errore nel testo, o meglio, una frase che non andava scritta, in quanto INUTILE.
Cosa è ?
Cosa è ?
"Umby":
C'e' comunque un errore nel testo, o meglio, una frase che non andava scritta, in quanto INUTILE.
Una banda di ladri vuole aprire la cassaforte di una banca.
A parte gli scherzi non riesco a capire qual è la frase a cui si riferisce Umby: ho provato a toglierle una per una e ogni volta la situazione cambiava...
'La cifra ripetuta è pari' è inutile: c'è (asserzione precedente) una sola cifra dispari.
"Umby":
E' proprio qui l'errore. Dovresti dividere per $2!$
Altrimenti una combinazione di 5 numeri la conteggi due volte (scambiando i due numeri che si ripetono tra loro !!!)
Scusa Umby, ma non capisco perchè dovrei dividere per \(\displaystyle 2! \).
Il ragionamento che ho fatto in quel punto è questo:
i) la cifra dispari posso sceglierla in 5 modi,
ii) la prima cifra pari la scelgo in 5 modi,
iii) l'altra cifra pari la scelgo in 4 modi,
iiii) le due cifre pari uguali le scelgo in 3 modi.
Quindi tutte le possibili scelte sono \(\displaystyle 5\cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \).
Il problema sta nelle cifre pari diverse. Supponiamo che esse siano A e B.
Esse si possono presentare nell'ordine A--B, oppure nell'ordine B--A. E infatti hai contato entrambi i modi.
Ma poi hai la possibilità di scegliere come prima cifra diversa B e come seconda A: ottieni le stesse sequenze di sopra, e le conti per una seconda volta.
Quindi devi dividere per 2.
Esse si possono presentare nell'ordine A--B, oppure nell'ordine B--A. E infatti hai contato entrambi i modi.
Ma poi hai la possibilità di scegliere come prima cifra diversa B e come seconda A: ottieni le stesse sequenze di sopra, e le conti per una seconda volta.
Quindi devi dividere per 2.
"giannirecanati":
Quindi tutte le possibili scelte sono \(\displaystyle 5\cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \).
Se ho ben capito il tuo ragionamento, nella prima parte stai cercando le combinazioni possibili, e successivamente per ogni combinazione valuti in quanti modi puoi permutarle.
Prima cifra: Dispari (può essere una delle 5)
2^-3^-4^: Devi calcolare le combinazioni senza ripetizione di 5 cifre a gruppi di 3. $((5),(3))$ = 10
5^ cifra: può essere uguale alla 2^ o alla 3^ o alla 4^ (3)
Quindi hai $5 * 10 * 3 = 150$ modi di scegliere le 5 cifre e non 300. La seconda parte del tuo ragionamento dovrebbe esser corretta, anche se un po contorta.
"Rggb":
'La cifra ripetuta è pari' è inutile: c'è (asserzione precedente) una sola cifra dispari.
Grazie, adesso è tutto chiaro!
"giannirecanati":
Grazie, adesso è tutto chiaro!
...secondo me, dovresti "raffinare" la seconda parte ....
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo