Quesiti... da spiaggia

[Sk_Anonymous]

a)
Risolvere per valori interi positivi di x ed y l'equazione:
$1/x+1/y=1/200$

b)
Dimostrare che il numero :
$N=3^(2n+2)-8n-9$
con n intero $>=0$, e' divisibile per 64

c)
Trovare tutti gli interi n tali che il numero:
$N=3+5^n+12n(n+1)$
risulti divisibile per 100.

karl

[giuseppe87x]

a)
Facendo un pò di conti si arriva a
$y=200+400/(x-200)$
da cui si vede che $x-200$ deve essere uguale a tutti i divisori positivi di $400$.

[giuseppe87x]

b)
Per induzione
La proprietà è banalmente verificata per $n=1$
Supponiamo vera
$3^(2n+2)-8n-9=64A$
allora
$3^(2n+2+2)-8n-8-9=64A+8x3^(2n+2)-8=64A+8(3^(2(n+1))-1)$
Le potenze pari di $3$ sono tutte congrue $1$ modulo $8$ e da qui la tesi.

[giuseppe87x]

c)
Ho trovato solo un $n$. Ce ne sono altri?

[fields1]

3) Le soluzioni sono tutte, e sole, quelle della forma $n-=2 (mod 5)$. A voi il compito di dimostrarlo.

[Bruno13]

"Karl":c)
Trovare tutti gli interi n tali che il numero:
$N=3+5^n+12n(n+1)$
risulti divisibile per 100.

Scelgo una via alternativa alle congruenze.

Abbiamo: 100 = 4·25, con (25,4)=1.
Il numero indicato è senz'altro divisibile per 4,
dal momento che ogni potenza di 5 segue sempre
di un'unità un multiplo di 4: 5ª = (4+1)ª = 4k+1
per un certo k.
Ciò significa che 5ª+3, oltre a 12a(a+1), è divisibile
per 4.
Vediamo inoltre che 12a(a+1)+5ª+3 può essere
riscritto così: 3(2a+1)²+5ª, per esempio applicando
l'identità 4pq = (p+q)²-(p-q)² a 12a(a+1).
Scopriamo allora che la divisibilità per 5 di questo
numero impone che 2a+1 stesso sia divisibile per
5. Ma se 2a+1 = 5h, allora h dev'essere dispari e
quindi: a = 5m+2, con m intero non negativo.
Rispetto a questo a>1, il numero proposto è sempre
un multiplo di 25 e, dunque, è pure divisibile per
4·25=100.

"Karl":b)
Dimostrare che il numero :
$N=3^(2n+2)-8n-9$
con n intero $>=0$, e' divisibile per 64

Ragiono su questa forma equivalente del numero
(più che altro perché non posso usare le vostre
formule): 9ª-1-8a, con a intero non negativo.
Chiamo S la somma delle potenze di 9 a partire
dall'esponente zero fino ad a-1. Poiché ogni potenza
di 9 segue sempre di un'unità un multiplo di 8
(il concetto è quello visto sopra per il 5 rispetto a 4),
possiamo scrivere:
S = 8h+a, per un certo h.
Dunque, ricordando la nota identità sulla differenza di
due potenze con lo stesso esponente:
9ª-1+8a = (9-1)·S-8a = 8·(8h+a)-8a = 64h.

Per il momento, fine pausa.



PS per Giuseppe87x

"Giuseppe87x":(...) si arriva a $y=200+400/(x-200)$
da cui si vede che $x-200$ deve essere
uguale a tutti i divisori positivi di $400$.

Ciao Giuseppe87x.
Forse ho perso qualcosa, ma sei sicuro che
quel 400 non sia invece un 40000?

[giuseppe87x]

"Bruno":
PS per Giuseppe87x

[quote="Giuseppe87x"](...) si arriva a $y=200+400/(x-200)$
da cui si vede che $x-200$ deve essere
uguale a tutti i divisori positivi di $400$.

Ciao Giuseppe87x.
Forse ho perso qualcosa, ma sei sicuro che
quel 400 non sia invece un 40000?[/quote]

Si in effetti ho dimenticato due zeri.

Fields a questo punto vorrei vedere la tua soluzione del terzo quesito

[fields1]

Be', la mia soluzione non differisce concettualmente da quella di Bruno. Solo io uso l'aritmetica modulare per risolvere questo genere di problemi. Infatti il ragionamento diventa quasi sempre meccanico e algebrico, grazie alle congruenze.

Evidentemente, $3+5^n+12n(n+1)-=3+1+0-=4-=0 (mod 4)$, e meccanicamente otteniamo la divisibilità per $4$. Poi prendiamo l'espressione $3+5^n+12n(n+1)$ e raccogliamo il $3$, ottenendo $5^n+3(4n(n+1)+1)=5^n+3(2n+1)^2$. Considerando la divisibilità per $25$, otteniamo che, per $n>=2$, necessariamente $2n+1-=0 (mod 5)$, dunque $2n-=-1-=4 (mod 5)$. Moltiplicando per l'inverso di $2$ modulo $5$ entrambi i lati, ovvero per $3$, otteniamo $6n-=12 (mod 5)$ e dunque $n-=2 (mod 5)$.