Quesiti da colloquio 2.
Vi propongo qualche altro quesito presente in una raccolta che ho trovato su internet.
Questo thr continua da qui quesiti-da-colloquio-t81236.html
(se qualcuno di voi conosce qualche tecnica per risolvere le equazioni intere come fatto da cenzo nell'esercizio 1 del thr linkato, può cortesemente mostrarle.)
1) Un cubo 10x10x10 è composto di tanti piccoli cubi di lato 1. Il cubo grande è sospeso in aria. Le avverse condizioni meteoreologiche danneggiano il cubo, in particolare i cubi piccoli esposti vengono persi e cadono. Quanti cubi piccoli vi sono in terra?
2) In una città ideale ci sono 100,000 coppie sposate. Ogni coppia fa un figlio all'anno e continua fino alla nascita del primo figlio maschio. Maschio e femmina sono equiprobabili. Se p(t) è la percentuale di figli maschi, come ci aspettiamo questo rapporto evolva nel tempo.
3) Ci sono 100 luci in una stanza ognuna con il proprio interruttore. Le luci ora sono tutte spente. Ci sono 100 uomini fuori dalla stanza. Il primo entra e preme l'interruttore di tutte le lampadine; poi entra il secondo e preme le mapadine 2,4,6,..; poi il terzo preme le lampadine (intendo gli interruttori che possono essere pensati come relè (se si scrive così)) 3,6,9,... ecc....
Cosa possiamo dire della lampadina 64?
Quante lampadine saranno accese?
4) Supponiamo ci sia una costa dritta. Un faro proietta una luce da una certa distanza L dalla costa. La luce effettua un giro al minuto. Quale è la velocità della luce lungo la costa.
Enjoy!
Questo thr continua da qui quesiti-da-colloquio-t81236.html
(se qualcuno di voi conosce qualche tecnica per risolvere le equazioni intere come fatto da cenzo nell'esercizio 1 del thr linkato, può cortesemente mostrarle.)
1) Un cubo 10x10x10 è composto di tanti piccoli cubi di lato 1. Il cubo grande è sospeso in aria. Le avverse condizioni meteoreologiche danneggiano il cubo, in particolare i cubi piccoli esposti vengono persi e cadono. Quanti cubi piccoli vi sono in terra?
2) In una città ideale ci sono 100,000 coppie sposate. Ogni coppia fa un figlio all'anno e continua fino alla nascita del primo figlio maschio. Maschio e femmina sono equiprobabili. Se p(t) è la percentuale di figli maschi, come ci aspettiamo questo rapporto evolva nel tempo.
3) Ci sono 100 luci in una stanza ognuna con il proprio interruttore. Le luci ora sono tutte spente. Ci sono 100 uomini fuori dalla stanza. Il primo entra e preme l'interruttore di tutte le lampadine; poi entra il secondo e preme le mapadine 2,4,6,..; poi il terzo preme le lampadine (intendo gli interruttori che possono essere pensati come relè (se si scrive così)) 3,6,9,... ecc....
Cosa possiamo dire della lampadina 64?
Quante lampadine saranno accese?
4) Supponiamo ci sia una costa dritta. Un faro proietta una luce da una certa distanza L dalla costa. La luce effettua un giro al minuto. Quale è la velocità della luce lungo la costa.
Enjoy!
Risposte
"DajeForte":
4) Supponiamo ci sia una costa dritta. Un faro proietta una luce da una certa distanza L dalla costa. La luce effettua un giro al minuto. Quale è la velocità della luce lungo la costa.
Edit: messo in spoiler
spero di non dire cavolate, ma comunque :
1)
2)
3)
4)
1)
2)
3)
4)
"DajeForte":
1) Un cubo 10x10x10 è composto di tanti piccoli cubi di lato 1. Il cubo grande è sospeso in aria. Le avverse condizioni meteoreologiche danneggiano il cubo, in particolare i cubi piccoli esposti vengono persi e cadono. Quanti cubi piccoli vi sono in terra?
Scusa cenzo, non avevo letto.
@ant.py:
1) no.
2) si.
3) si.
4) l'idea che la velocità non sia costante è giusta ed a + e - 90 gradi tende a +infinito.
@cenzo:
1) si; ogni cubo ha un cubo interno.
4) si; la mia soluzione usa seni e coseni ma alla fine sono equivalenti (dovrei controllare le costanti ma insomma il ragionamento è giusto)
1) no.
2) si.
3) si.
4) l'idea che la velocità non sia costante è giusta ed a + e - 90 gradi tende a +infinito.
@cenzo:
1) si; ogni cubo ha un cubo interno.
4) si; la mia soluzione usa seni e coseni ma alla fine sono equivalenti (dovrei controllare le costanti ma insomma il ragionamento è giusto)
"xXStephXx":
Scusa cenzo, non avevo letto.
Figurati Steph, a questo servono gli spoiler!
Che ne pensi di questo problema (quello delle monete)? post557460.html#p557460
Pensi ci sia un modo più rapido ?
@xXStephXx
Ok. Tanto se la soluzione è in spoiler e uno non la legge...
Daltronde siamo qua per divertirci ed allenarci e non in competizione.
Colgo quindi l'occasione per metterne altri.
Trovare il più piccolo intero tale che diviso 2 dia resto 1; diviso 3 dia resto 2;...;diviso dieci dia resto 9.
Un classico (chi lo conosce non risponda):
due persone fanno il seguente gioco: uno dice un numero (lo chiamo x), quello dopo può dire un numero y compreso tra x+1 e x+10 inclusi quindi se dico dodici l'altro può dire un numero compreso tra 13 e 22 inclusi.
Vince chi dice il numero 50. Il primo dice un numero tra 1 e 10.
Vorreste iniziare il gioco? Se si avete un numero di partenza?
Un pizzico probabilistico.
Si lancia un dado 3 volte; dopo ogni lancio il banco vi chiede se volete continuare o se volete essere pagati con una somma pari al risultato dell'ultimo lancio. Al terzo lancio ovviamente non si sceglie e si prende il valore dato dal terzo dado.
Che strategia utilizzereste con l'intento di massimizzare la vincita.
Se non è chiaro chiedete spiegazioni.
C'è una scacchiera 8x8. Cancello due caselle in posizione (8,8) e (1,1) (due angoli opposti). Ho a disposizione delle piastrine 2x1. Si possono ricoprire le rimanenti 62 caselle senza che le piastrine si sovrappongano o escano dalla scacchiera?
Enjoy 2!
Edit: anchio sono curioso Steph se hai qualche tecnichetta per quei sistemi o se bisogna andare in forza bruta.
Ok. Tanto se la soluzione è in spoiler e uno non la legge...
Daltronde siamo qua per divertirci ed allenarci e non in competizione.
Colgo quindi l'occasione per metterne altri.
Trovare il più piccolo intero tale che diviso 2 dia resto 1; diviso 3 dia resto 2;...;diviso dieci dia resto 9.
Un classico (chi lo conosce non risponda):
due persone fanno il seguente gioco: uno dice un numero (lo chiamo x), quello dopo può dire un numero y compreso tra x+1 e x+10 inclusi quindi se dico dodici l'altro può dire un numero compreso tra 13 e 22 inclusi.
Vince chi dice il numero 50. Il primo dice un numero tra 1 e 10.
Vorreste iniziare il gioco? Se si avete un numero di partenza?
Un pizzico probabilistico.
Si lancia un dado 3 volte; dopo ogni lancio il banco vi chiede se volete continuare o se volete essere pagati con una somma pari al risultato dell'ultimo lancio. Al terzo lancio ovviamente non si sceglie e si prende il valore dato dal terzo dado.
Che strategia utilizzereste con l'intento di massimizzare la vincita.
Se non è chiaro chiedete spiegazioni.
C'è una scacchiera 8x8. Cancello due caselle in posizione (8,8) e (1,1) (due angoli opposti). Ho a disposizione delle piastrine 2x1. Si possono ricoprire le rimanenti 62 caselle senza che le piastrine si sovrappongano o escano dalla scacchiera?
Enjoy 2!
Edit: anchio sono curioso Steph se hai qualche tecnichetta per quei sistemi o se bisogna andare in forza bruta.
1)
2)
4)
2)
4)
3)
Tutto Ok.
@cenzo: del quesito a cui hai risposto non ho soluzione; ma quella che avevo pensato io è la stessa tua.
@cenzo: del quesito a cui hai risposto non ho soluzione; ma quella che avevo pensato io è la stessa tua.
@Daje: in pratica una ottimizzazione della strategia "backward".
"DajeForte":
2) In una città ideale ci sono 100,000 coppie sposate. Ogni coppia fa un figlio all'anno e continua fino alla nascita del primo figlio maschio. Maschio e femmina sono equiprobabili. Se p(t) è la percentuale di figli maschi, come ci aspettiamo questo rapporto evolva nel tempo.
Sono d'accordo che in media questo rapporto sarà 1/2, come è stato già fatto notare.
Magari è banale, ma aggiungerei le seguenti considerazioni sulla "evoluzione" del rapporto.
All'inizio il rapporto è più "instabile" e potrebbe avere qualche oscillazione.
All'aumentare del tempo il rapporto tende ad un valore costante, che avrà una sua distribuzione, con media 1/2.
Infatti dopo un certo numero di anni, è quasi certo che ogni famiglia avrà avuto l'agognato maschio: a quel punto i giochi sono conclusi e la frazione di maschi resta fissa nel tempo. Tale frazione però non è necessariamente 1/2 (anche se ha tale media).
Detto $N=100000$, al tempo $t$ mi risulta $p(t)=(N-Y_t)/(N+\sum_{j=1}^{t-1}Y_j)$
dove $Y_t \sim "Binom"(Y_{t-1},1/2)$ è il numero delle femmine nate al tempo $t$, con $Y_1 \sim "Binom"(N,1/2)$.
Un run di una simulazione:
Giustissimo.
Le tue considerazioni mi conducono ad un naturale rilancio:
Si può determinare, se esiste, la distribuzione di: $lim_(t \to infty)p(t)$?
Le tue considerazioni mi conducono ad un naturale rilancio:
Si può determinare, se esiste, la distribuzione di: $lim_(t \to infty)p(t)$?
Me l'ero chiesto anche io.. 
Come mi piacerebbe saper rispondere a questa domanda!
Però mi manca un adeguato background teorico (processi aleatori ?).
Non mi meraviglierei se saltasse fuori una normale di media 1/2 e varianza proporzionale a 1/N.
Non so Daje. Quell' $Y_t$ a numeratore direi che va a zero.
E' la somma a denominatore che è fastidiosa..
Meglio se evito di dire altre castronate. Passo
Come mi piacerebbe saper rispondere a questa domanda!
Però mi manca un adeguato background teorico (processi aleatori ?).
Non mi meraviglierei se saltasse fuori una normale di media 1/2 e varianza proporzionale a 1/N.
Non so Daje. Quell' $Y_t$ a numeratore direi che va a zero.
E' la somma a denominatore che è fastidiosa..
Meglio se evito di dire altre castronate. Passo
Tranquillo, anche io sto avendo dei problemi. Quando ieri ho rilanciato avevo effettuato dei ragionamenti a mente, che pensavo di formalizzare oggi, ma sto riscontrando dei problemi.
Insieme magari ce la facciamo!
Le mie considerazioni erano:
T è la v.a. che descrive l'ultimo istante nel qule si fanno figli (ovvero l'istante nel quale tutte hanno 1 filgio maschio).
Se pensiamo ad una singola famiglia (diciamo i=1,...,N) questa è una geometrica.
La variabile T è dunque definita come $T=max(T_1,...,T_N)$ e sappiamo che con il max qualcosa ci sappiamo fare.
Sappiamo inoltre che $T
Siccome una volta passato T le nascite si arrestano (tutto rimane stabile)
$lim_(t to infty)p(t)=p(T)$.
Ora come sarà $p(T)$?
Io la sparo così: $N/(N+sum_(i=1)^N X_i)$ dove X_i="numero di figli femmina della famiglia i"; è a sua volta una geometrica legata alla T_i da $T_i=X_i+1$.
Da qua poi binomiale negativa.
Queste sono le considerazioni però R non mi ha dato molta ragione anche se la struttura mi sembra corretta.
Vedi se a te l'intuito e R (piazza N piccolo) ti danno ragione.
A dopo.
Ciao.
Insieme magari ce la facciamo!
Le mie considerazioni erano:
T è la v.a. che descrive l'ultimo istante nel qule si fanno figli (ovvero l'istante nel quale tutte hanno 1 filgio maschio).
Se pensiamo ad una singola famiglia (diciamo i=1,...,N) questa è una geometrica.
La variabile T è dunque definita come $T=max(T_1,...,T_N)$ e sappiamo che con il max qualcosa ci sappiamo fare.
Sappiamo inoltre che $T
Siccome una volta passato T le nascite si arrestano (tutto rimane stabile)
$lim_(t to infty)p(t)=p(T)$.
Ora come sarà $p(T)$?
Io la sparo così: $N/(N+sum_(i=1)^N X_i)$ dove X_i="numero di figli femmina della famiglia i"; è a sua volta una geometrica legata alla T_i da $T_i=X_i+1$.
Da qua poi binomiale negativa.
Queste sono le considerazioni però R non mi ha dato molta ragione anche se la struttura mi sembra corretta.
Vedi se a te l'intuito e R (piazza N piccolo) ti danno ragione.
A dopo.
Ciao.
"cenzo":
3)
puoi spiegare il ragionamento fatto? Intuitivamente penso anch'io che sia giusto ma non so nè come arrivarci nè come calcolare la vincita attesa (che è esatta, ho fatto un paio di simulazioni e viene 4.6699
)
@ant.py
La seconda parte di questo problema è ancora irrisolta.
Segnalo inoltre che nel problema:
la soluzione $1/2$ può non essere corretta. Rimane dunque un problema aperto di cui non ho ancora chiara la soluzione.
3) Ci sono 100 luci in una stanza ognuna con il proprio interruttore. Le luci ora sono tutte spente. Ci sono 100 uomini fuori dalla stanza. Il primo entra e preme l'interruttore di tutte le lampadine; poi entra il secondo e preme le mapadine 2,4,6,..; poi il terzo preme le lampadine (intendo gli interruttori che possono essere pensati come relè (se si scrive così)) 3,6,9,... ecc....
Cosa possiamo dire della lampadina 64?
Quante lampadine saranno accese?
Segnalo inoltre che nel problema:
2) In una città ideale ci sono 100,000 coppie sposate. Ogni coppia fa un figlio all'anno e continua fino alla nascita del primo figlio maschio. Maschio e femmina sono equiprobabili. Se p(t) è la percentuale di figli maschi, come ci aspettiamo questo rapporto evolva nel tempo.
la soluzione $1/2$ può non essere corretta. Rimane dunque un problema aperto di cui non ho ancora chiara la soluzione.
Quella delle luci:
"DajeForte":
la soluzione $1/2$ può non essere corretta. Rimane dunque un problema aperto di cui non ho ancora chiara la soluzione.
Questo problema mi puzzava fin dall'inizio....
"DajeForte":
Le mie considerazioni erano:
[cut]
Ora come sarà $p(T)$?
Io la sparo così: $N/(N+sum_(i=1)^N X_i)$ dove X_i="numero di figli femmina della famiglia i"; è a sua volta una geometrica legata alla T_i da $T_i=X_i+1$.
Da qua poi binomiale negativa.
I mei complimenti per il ragionamento. L'idea di buttare la binomiale e considerare le famiglie singolarmente e quindi la geometrica, è eccellente!
Mi torna tutto quello che hai scritto. Quindi, facendo la sostituzione, risulta
$p(T)=N/(\sum_{i=1}^{N}T_i)=N/Z$
dove $Z$ è una binomiale negativa di parametri $N$ e $1/2$.
La sua pmf è $P(Z=k)=((k-1),(N-1))*(1/2)^k$, con $k>=N$.
La sua media $E(Z)=2N$
Però $E(N/Z) \ne N/(E(Z))=1/2$
Consideriamo ad esempio il caso di una sola famiglia $N=1$. Si ha $p(T)=1/T_1$
Infatti se il primo figlio è maschio ho $p(T)=1$ con probabilità $1/2$.
Se il maschio nasce a $T=2$, abbiamo $p(T)=1/2$ con probabilità $(1/2)^2$
Se il maschio nasce a $T=k$ abbiamo $p(T)=1/k$ con probabilità $(1/2)^k$.
La media di $p(T)$ è allora $\sum_{k=1}^{infty}1/k*(1/2)^k=log(2) \sim 0.693$
Ben diverso da $1/2$ e nonostante $E(T_1)=2$.
Ho fatto una simulazione con R che mi confermano questi risultati. Codice:
pinf <- function(N=1000,sim=20000) {
p <- numeric()
for(k in 1:sim) {
y <- numeric()
i <- 1
y[i] <- rbinom(1,N,0.5)
while (y[i] != 0) {
i <- i+1;
y[i] <- rbinom(1,y[i-1],0.5)
}
p[k] <- N/(N+sum(y))
}
hist(p,main=paste("N =",format(N,digits=7),"; Media =",format(mean(p),digits=6)))
}
pinf(1)Istogrammi per vari valori di $N$:
Si vede che $p(T)$ tende ad avere media $1/2$ al crescere di $N$.
Ora non so che distribuzione (asimmetrica) abbia $p(T)=N/Z$, però sono riuscito ad ottenere la media, utilizzando la pmf binomiale negativa.
$E(N/Z)=NE(1/Z)=N \sum_{k=N}^{infty}1/k*((k-1),(N-1))(1/2)^k=N*B_{1/2}(N,1-N)$ (grazie a wolframalpha!)
dove $B_{z}(a,b)$ è la funzione beta incompleta.
Non mi è riuscito di calcolare quella funzione in R, vuole che i parametri a e b siano positivi..
(se hai dritte..)
Quindi l'ho calcolata in wolframalpha e per $N=1$ mi conferma $log(2)$, mentre per $N=100000$ mi da
$\sim 0.5000025$
Ancora irrisolto: distribuzione di p(T) e -volendo- di p(t).
Edit: se $T_1$ è geometrica, $1/T_1$ è una distribuzione nota ?
Edit2: cosa non ti torna in R ?
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