Quattro punti

[axpgn]

Dati quattro punti del piano, costruire un quadrato in modo tale che ciascun lato passi per uno dei punti dati.


Cordialmente, Alex

[ghira1]

Anche se i 4 punti sono allineati?

[axpgn]

Sì, sono riuscito a costruirlo anche in quel caso.

[3m0o]

"ghira":Anche se i 4 punti sono allineati?

"axpgn":Sì, sono riuscito a costruirlo anche in quel caso.

Ma tu intendi che i quattro punti possono stare sul quadrato "esteso" ? Per quadrato esteso intendo prolungare i lati.

If we accept the generalization that an extended side of a square can contain one of
the original four points, then we can construct squares that contain any four points. For
example, Fig. 9 illustrates the construction of one of the eight squares associated with four
points on a common line.

[axpgn]

Chiaramente sì, d'altronde c'è scritto che ciascun lato "passi" per i punti non che li contenga.

Però se mi vai cercare come si fa, non vale

[Quinzio]

Siano A,B,C,D 4 punti nel piano.
Si tracci la perpendicolare a CD che passa per D.
Sia E un punto sulla perpendicolare tale che CD = DE.
Si tracci $i$: la parallela ad AD che passa per B.
Si tracci $k$: la parallela ad AB che passa per D.
L'intersezione di $i$ e $k$ sia F.
Sia $m$ la parallela ad EF che passa per A.
Sia $n$ la parallela ad EF che passa per B.
Sia $p$ la perpendicolare ad EF che passa per D.
Sia $q$ la perpendicolare ad EF che passa per C.
Le rette $m,n,p,q$ sono le estensioni dei lati del quadrato cercato.
Gli incroci di queste rette a due a due formano i vertici del quadrato.

Nell'applicazione muovere col mouse i 4 punti A,B,C,D per muovere il quadrato.
https://www.geogebra.org/calculator/qcnpwqec

PS.
Questa costruzione non ha lo scopo preciso di trovare il quadrato i cui lati contengono i punti ABCD.
Trova uno dei quadrati per cui ABCD stanno sui lati o sui prolungamenti dei lati.
Permutando i punti ABCD dovrebbero risultare al massimo 6 quadrati diversi, di cui uno potrebbe contenere direttamente i punti ABCD.
PPS.
Tra i quadrati sono considerati anche quelli degeneri, ovvero con la lunghezza del lato pari a zero.

[axpgn]

La mia è simile ma meno articolata.

Siamo $A, B, C, D$ i punti dati.
Tracciare la linea $BL$ attraverso $B$ e perpendicolare ad $AC$ in modo che $BL$ sia uguale ad $AC$.
Sia $d$ la linea che unisce $D$ con $L$.
Tracciare la linea $b$ parallela a $d$ attraverso $B$ e tracciare le linee $a$ e $c$ perpendicolari a $d$ attraverso $A$ e $C$ rispettivamente.
Le linee $a, b, c, d$ formano il quadrato richiesto.

Cordialmente, Alex