Quanti triangoli equilateri

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Consideriamo il piano cartesiano. Consideriamo i vertici di un triangolo \( (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3) \) nel piano. Quanti triangoli equilateri è possibile formare in modo tale che \( (x_j,y_j) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \), per ogni \( 1 \leq j \leq 3 \)?

[axpgn]

Mah ...

Però mi sembra di aver notato questo ...

Senza perdere di generalità sposto uno dei vertici nell'origine e chiamo $(a,b)$ e $(c,d)$ le nuove coordinate degli altri due.
Affinché siano i vertici di un triangolo equilatero le tre distanze devono essere uguali, il che porta a $a^2+b^2=c^2+d^2=(c-a)^2+(d-b)^2$
Il numero di soluzioni di queste due equazioni è il numero cercato. O no?

Cordialmente, Alex

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Direi di sì, ma non l'ho risolto così io.

[axpgn]

Ah, beh, quello è sicuro

E comunque non saprei come proseguire ...


Cordialmente, Alex

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Se vuoi un indizio:

Usa queste due proprietà:
1) Siano \(A,B,C\) tre punti di \( \mathbb{Z}^2\), e \(A,B\) sono collegati con un segmento, allora traslando il segmento in modo che il punto \(A\) diventa il punto \(C\) allora il punto \(B\) viene mandato ad un punto \(D\) anch'esso un punto di \( \mathbb{Z}^2\), ottenendo quindi un segmento \(CD\) parallelo e di uguale lunghezza ad \(AB\) ma traslato.

2) Dati due punti \(A,B\) di \( \mathbb{Z}^2\) collegati con un segmento, effettuando una rotazione del segmento di \( \pi/2\) attorno a \(A\) il punto \(B\) viene mandato in un punto \(C\) anch'esso di \( \mathbb{Z}^2\) ottenendo un segmento \(AC\) di uguale lunghezza ad \(AB\) ma ruotato di 90 gradi.

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Visto che nessuno ci prova metto la soluzione
Attenzione soluzione

1) Siano \( A,B,C \) tre punti di \( \mathbb{Z}^2 \), e \( A,B \) sono collegati con un segmento, allora traslando il segmento in modo che il punto \( A \) diventa il punto \( C \) allora il punto \( B \) viene mandato ad un punto \( D \) anch'esso un punto di \( \mathbb{Z}^2 \), ottenendo quindi un segmento \( CD \) parallelo e di uguale lunghezza ad \( AB \) ma traslato.

2) Dati due punti \( A,B \) di \( \mathbb{Z}^2 \) collegati con un segmento, effettuando una rotazione del segmento di \( \pi/2 \) attorno a \( A \) il punto \( B \) viene mandato in un punto \( C \) anch'esso di \( \mathbb{Z}^2 \) ottenendo un segmento \( AC \) di uguale lunghezza ad \( AB \) ma ruotato di 90 gradi

Supponiamo per assurdo che esista un triangolo equilatero di vertici \(A,B,C\), diciamo che la lunghezza dei lati sono \(d_0\). Usando la proprietà 1) possiamo dire che esiste pure un esagono regolare di centro \(A\). Di vertici \(B,C,D,E,F,G \in \mathbb{Z}^2 \) e i cui lati sono di lunghezza \(d_0\).
Ora usando la proprietà 2) sui lati dell'esagono possiamo costruire un esagono regolare più piccolo completamente contenuto nel primo esagono, di vertici \( A',B',C',D',E',F' \in \mathbb{Z}^2 \) e i cui lati sono di lunghezza \( d_1 < d_0 \).
Applicando iterativamente questa procedura di rotazione dei lati dell'esagono ad un certo punto ci troveremo con un esagono di vertici \( A^{(k)},B^{(k)},C^{(k)},D^{(k)},E^{(k)},F^{(k)} \in \mathbb{Z}^2 \) e i cui lati sono di lunghezza \( d_k < 1 = \min\limits_{x,y \in \mathbb{Z}^2}\left \| x-y \right \|_2 \), assurdo!

Pertanto non esistono triangoli equilateri i cui vertici sono tutti e tre dei punti del reticolo \( \mathbb{Z}^2\). E la risposta alla domanda è zero!