Quanti triangoli
Buongiorno
Quanti triangoli esistono, con le misure dei tre lati date da numeri interi, la cui area è sempre la stessa $mq 84$ esatti? E quali sono?
Io conosco la soluzione, ma non il procedimento.
Quanti triangoli esistono, con le misure dei tre lati date da numeri interi, la cui area è sempre la stessa $mq 84$ esatti? E quali sono?
Io conosco la soluzione, ma non il procedimento.
Risposte
Un modo per limitare il numero di terne possibili è tenere conto dei seguenti fatti:
1. ogni lato è minore della somma degli altri 2
2. ogni lato è maggiore della differenza degli altri 2
3. l'area si può calcolare con la formula di Erone, cioè $A=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$ dove $a,b,c$ sono i lati e $p$ è il semiperimetro.
Poi però continuerei per esclusione e tentativi
1. ogni lato è minore della somma degli altri 2
2. ogni lato è maggiore della differenza degli altri 2
3. l'area si può calcolare con la formula di Erone, cioè $A=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$ dove $a,b,c$ sono i lati e $p$ è il semiperimetro.
Poi però continuerei per esclusione e tentativi
OK. Quindi semplificando, nel nostro caso si potrebbe scrivere $7056=p(p-a)(p-b)(p-c)$
Il perimetro deve essere un numero pari, per avere dei lati di misura intera.
Il lato maggiore non dovrebbe misurare più di $m.85 $.
Sono vere queste affermazioni?
Il perimetro deve essere un numero pari, per avere dei lati di misura intera.
Il lato maggiore non dovrebbe misurare più di $m.85 $.
Sono vere queste affermazioni?
"al_berto":
Il perimetro deve essere un numero pari, per avere dei lati di misura intera.
Perché? Da dove ricavi questa proprietà?
"al_berto":
OK. Quindi semplificando, nel nostro caso si potrebbe scrivere $7056=p(p-a)(p-b)(p-c)$
Il perimetro deve essere un numero pari, per avere dei lati di misura intera.
Il lato maggiore non dovrebbe misurare più di $m.85 $.
Sono vere queste affermazioni?
Anch'io non capisco perchè il perimetro deve essere a priori un numero pari...
Per il resto siamo d'accordo.
Ora, tenendo conto che ogni lato deve essere maggiore della differenza degli altri 2, allora:
se hai un lato che misura 1 allora gli altri 2 devono esere uguali
se hai un lato che misura 2 allora gli altri 2 non devono differire per più di 1
se hai un lato che misura 3 allora gli altri 2 non devono differire per più di 2
.......
e così restringi ulteriormente i casi possibili
Ho chiesto se sono vere le mie affermazioni. Non è detto che lo siano.
Secondo me dovendo lavorare sul semiperimetro ho pensato che partendo da una misura decimale le cose si sarebbero messe male dovendo trovare una area di misura intera e anche dei lati interi.
Il resto ti pare che vada?
Secondo me dovendo lavorare sul semiperimetro ho pensato che partendo da una misura decimale le cose si sarebbero messe male dovendo trovare una area di misura intera e anche dei lati interi.
Il resto ti pare che vada?
"al_berto":
Ho chiesto se sono vere le mie affermazioni. Non è detto che lo siano.
Secondo me dovendo lavorare sul semiperimetro ho pensato che partendo da una misura decimale le cose si sarebbero messe male dovendo trovare una area di misura intera e anche dei lati interi.
Il resto ti pare che vada?
Il resto è ok.
Questa cosa che hai detto invece non è vera a priori.
Infatti è vero che se il perimetro non è pari, e quindi dal semiperimetro escono dei fattori 2 a denominatore;
ma è anche vero che ci sono gli altri termini (cioè p-a,p-b,p-c) che potrebbero essere pari e quindi potrebbero eliminare i fattori 2 del denominatore dando così dei numeri interi
Si può essere. Mi pareva che se il semiperimetro fosse un numero decimale, allora (p-a),(p-b),(p-c) sarebbero dei numeri decimali dovendo essere i lati numeri interi. Il problema si complica 
"al_berto":
Si può essere. Mi pareva che se il semiperimetro fosse un numero decimale, allora (p-a),(p-b),(p-c) sarebbero dei numeri decimali dovendo essere i lati numeri interi.
Questo è corretto.
Con questa spiegazione il discorso fila.
Possiamo quindi anche considerare che il perimetro sia pari.
Scartiamo allora, in virtù della considerazione che ho fatto nel precedente post, il caso in cui un lato valga 1.
Perciò la lunghezza minima di ogni lato è 2.
ok. Fino a qui ci siamo:
Ora si può scomporre 7056 in fattori primi
$7056=2^4xx3^2xx7^2xx1$
Se $7056=pxx(p-a)xx(p-b)xx(p-c)$ allora questi 4 fattori devono essere tutti divisori di 7056
Quindi anche $p$ deve essere un divisore di 7056 e deve essere il prodotto di almeno 2 dei fattori primi presi senza esponente o con esponente uguale o inferiore.
Ciascun lato di ogni singolo triangolo deve essere inferiori a$p$ altrimenti non si può applicare la formula di Erone.
Ci sono errori fino a questo punto?
Ora si può scomporre 7056 in fattori primi
$7056=2^4xx3^2xx7^2xx1$
Se $7056=pxx(p-a)xx(p-b)xx(p-c)$ allora questi 4 fattori devono essere tutti divisori di 7056
Quindi anche $p$ deve essere un divisore di 7056 e deve essere il prodotto di almeno 2 dei fattori primi presi senza esponente o con esponente uguale o inferiore.
Ciascun lato di ogni singolo triangolo deve essere inferiori a$p$ altrimenti non si può applicare la formula di Erone.
Ci sono errori fino a questo punto?
Fin qui mi torna tutto il tuo ragionamento. Anzi direi si dimostra che $p$ è pari, infatti se per assurdo fosse dispari dovrebbe essere prodotto dei fattori 3 e 7 quindi:
- - $p$ non può essere 3, 7, 3x3=9 perché $7056 > 9^4$, quindi è multiplo di 7 con almeno un altro fattore dispari, ovvero 3 o 7 o 9 o 21;
- visto che $p$ è dispari e moltiplicato per altri 3 numeri dà un numero pari, almeno uno di questi deve essere pari: se solo uno è pari, il perimetro è dispari, e lo stesso se tutti e tre sono pari; quindi esattamente due, poniamo $p-a$ e $p-b$, sono pari mentre l'altro $p-c$ è dispari;
- questo numero $p-c$ può essere composto dai fattori 3 (due volte) e 7, ovvero può essere 3, 7, 9, 21, 63; osserviamo che:
--- se $p-c=3$ allora $p=3x7x7=147$, $2p=294$ $c=144$ - impossibile;
--- se $p-c=7$ allora $p=3x3x7=63$, $2p=126$, $c=56$, $a+b=70$, $a.b=48$ - impossibile;
--- se $p-c=9$ allora $p=7x7=49$, $2p=98$, $c=40$, $a+b=58$, $a.b=16$ - impossibile;
--- se $p-c=21$ allora $p=3x7=21$, $2p=42$, $c=0$ - impossibile;
--- se $p-c=63$ allora $p=7$ - impossibile;[/list:u:2z8r5sat]
quindi è impossibile $p$ sia dispari.
Mi sto divertendo
, andiamo avanti e se trovi errori correggimi.
io diversi giorni fa ho iniziato a ragionare così, e, da $(a+b+c)/2*(-a+b+c)/2*(a-b+c)/2*(a+b-c)/2=84^2$ avevo dedotto che i quattro fattori dovessero essere tutti interi. a questo punto, chiamando $x=a/2, y=b/2, z=c/2$, l'ultima uguaglianza scritta diventava $(x+y+z)*(-x+y+z)*(x-y+z)*(x+y-z)=1*2^4*3^2*7^2$, con i quattro fattori necessariamente tutti pari. dunque tutti i fattori potrebbero essere $2*(1,3,7,9,21,49,63,441)$, con la limitazione che $p$ sia il maggiore, che il prodotto sia $7056$ e che $a+b+c=2p$. finché ho avuto pazienza, mi pareva di non aver trovato nulla, o anche di aver dimostrato, magari in maniera fasulla, che non ci fossero soluzioni.
al_berto, quante soluzioni ti risultano?
al_berto, quante soluzioni ti risultano?
Sono un po' fuso ma... perché i quattro fattori sono necessariamente tutti pari?
perché sono della stessa parità, ed il prodotto è pari.
questo però effettivamente vale se $x,y,z$ sono tutti interi.
non ricordo se ho dimostrato che $a,b,c$ sono pari, perché a priori potrebbero essere uno pari e due dispari.
quindi potrebbe anche essere proprio questo che non mi ha fatto trovare soluzioni.
questo però effettivamente vale se $x,y,z$ sono tutti interi.
non ricordo se ho dimostrato che $a,b,c$ sono pari, perché a priori potrebbero essere uno pari e due dispari.
quindi potrebbe anche essere proprio questo che non mi ha fatto trovare soluzioni.
Mi aspettavo che prima o poi qualcuno chiedesse se esistono questi triangoli. Io non avrei aspettato tanto a chiederlo!
Come ripeto, ho trovato la soluzione, ma non conosco il procedimento di ragionamento matematico, però so che esiste.
Per adesso vi posso dire le misure dei lati di un triangolo con area $mq 84 $. I lati sono $ m 13, 14, 15 $.
Preferisco non dirvi quanti sono perchè a suo tempo c'è stata una amichevole discussione con in mio conoscente sul numero di questi triangoli.
Come ripeto, ho trovato la soluzione, ma non conosco il procedimento di ragionamento matematico, però so che esiste.
Per adesso vi posso dire le misure dei lati di un triangolo con area $mq 84 $. I lati sono $ m 13, 14, 15 $.
Preferisco non dirvi quanti sono perchè a suo tempo c'è stata una amichevole discussione con in mio conoscente sul numero di questi triangoli.
"adaBTTLS":
perché sono della stessa parità, ed il prodotto è pari.
Ovvio. E ovvio è anche che non devo fare domande stupide quando sono fuso
Comunque la soluzione postata da al_berto con lati 13, 14, 15 non torna. Mentre il tuo sviluppo mi ha dato un'idea, vedrò dove mi porta.
Scusate, direi ho sbagliato i calcoli (colpa mia, li ho fatti con la calcolatrice invece che a mano...); la soluzione di al_berto è corretta, quindi c'è una falla nel mio ragionamento precedente, che ho ricontrollato 
In pratica ho dimenticato di calcolare anche la possibilità che il fattore dispari 3 o 7 NON ci fosse nelle ultime osservazioni. Quindi riparto da qui
In pratica ho dimenticato di calcolare anche la possibilità che il fattore dispari 3 o 7 NON ci fosse nelle ultime osservazioni. Quindi riparto da qui
"adaBTTLS":
scritta diventava $(x+y+z)*(-x+y+z)*(x-y+z)*(x+y-z)=1*2^4*3^2*7^2$, con i quattro fattori necessariamente tutti pari.
Io non credo che i 4 fattori debbano essere tutti pari.
Basta che uno di essi sia pari e ovviamente il prodotto viene pari
L'ipotesi era: sono pari perché sono tutti interi, hanno uguale parità (tutti pari o tutti dispari) ed essendo il loro prodotto pari..
Anche io ero giunto alla conclusione che x, y e z fossero interi, o meglio (per altra via) che i tre lati a, b, c fossero interi pari. Ma come ho spiegato sopra, rifacendo la verifica vedo che p può anche essere dispari (anzi la soluzione di al_berto è proprio così).
Anche io ero giunto alla conclusione che x, y e z fossero interi, o meglio (per altra via) che i tre lati a, b, c fossero interi pari. Ma come ho spiegato sopra, rifacendo la verifica vedo che p può anche essere dispari (anzi la soluzione di al_berto è proprio così).
Se vi può servire io ne ho trovati 4:
7-24-25
13-14-15
8-29-35
10-17-21
7-24-25
13-14-15
8-29-35
10-17-21
Bravo
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