Quanti sono?

[Piera4]

Quanti sono gli interi positivi $b$ per cui la rappresentazione in base 10 di $b^n$ ha un numero pari di cifre per ogni intero positivo $n$ ?

[Sk_Anonymous]

Non ne esistono, di interi positivi così fatti! Banalmente $1^n = 1$, per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$. Dunque nel seguito ammettiamo $b > 1$ e cerchiamo $n, k \in \mathbb{Z}^+$ tali che $2k \le n*log_10(b) < 2k+1$. Siccome si ammette $b > 1$, vale $\log_{10}(b) > 0$, e perciò la condizione indicata è equivalente a determinare $n, k \in \mathbb{Z}^+$ tali che $\frac{2k}{\log_{10}(b)} \le n < \frac{2k+1}{\log_{10}(b)}$. Fissato perciò $k \in \mathbb{Z}^+$ tale che $a := \frac{2k}{\log_{10}(b)} \ge 1$, come è sempre possibile garantire, poniamo $n := [a]$, dove $[x]$ indica la parte intera bassa di $x$, per ogni $x \in \mathbb{R}$. Allora per costruzione $2k+1 = [n*log_{10}(b)]+1 = [log_{10}(b^n)] + 1 =: d$. Eppure $d$ non è altro che il numero delle cifre decimali significative di $b^n$. Da qui la conclusione voluta.