Quant'è l'area?

[axpgn]

Supponiamo che il grande triangolo in figura sia equilatero di area $1$.
Quanto vale complessivamente l'area di tutte le regioni nere?
(I triangoli neri formano un pattern infinitamente annidato)



Nota: casomai l'immagine sparisse, provo a descriverla.
Un triangolo equilatero di area $1$ suddiviso in quattro triangoli equilateri uguali, i tre agli angoli sono neri, quello centrale è bianco ma contiene, inscritta, una replica, in scala $1:4$, del triangolo grande.
E il triangolo bianco al centro di questa copia, ne contiene un'altra e poi un'altra e così via, indefinitamente.


Cordialmente, Alex

[Mathita]

$\frac{4}{5}$? Il punto interrogativo è dovuto al fatto che ultimamente non so fare i conti. :/

[axpgn]

Perché?

[Mathita]

Consideriamo esclusivamente i triangoli neri che stanno stanno in alto. Il più grande ha area $1/4$. Siccome il fattore di contrazione lineare è $1/4$, ad ogni livello di riduzione, l'area del triangolo nero al livello successivo è $1/16$ di quella del triangolo del livello precedente: genero quindi una progressione geometrica di ragione $1/16$. La somma delle aree dei triangoli superiori è data dalla seguente serie geometrica

$\frac{1} {4} \sum_{k=0}^\infty (\frac{1} {16})^k=\frac{1}{4} \cdot \frac{1} {1-\frac{1}{16}}=\frac{4}{15}$

Per ricavare l'area della parte nera della figura, è sufficiente moltiplicare per 3 il valore ottenuto, vale a dire $\frac{4}{5}$. Funziona?

[axpgn]

Sì

Il problema però è che ...

... questa è una soluzione matematica che usa le serie ovvero è una soluzione "normale"

Un'alternativa?

Cordialmente, Alex

[Mathita]

[ot]Immaginavo di essere "fuori luogo" . Non ho ancora una soluzione alternativa che non faccia uso delle serie. Ci penso su![/ot]

[Quinzio]

Un'alternativa:

TR1 e' il triangolo piu' grosso che si vede, quello piu' esterno, mentre TR2 e' quello formato dai punti medi dei lati di TR1.
TR2 e' una replica di TR1 che ha le seguenti differenze:
- e' di 1/4 piu' piccolo, in termini di area
- ha i colori invertiti, quindi se vogliamo e' "negativo" rispetto ad A.
Quindi l'area nera $A$ di TR1 e' l'area totale $1$ a cui togliamo TR2, una replica grande 1/4 di TR1.
In formule:

$A = 1 - 1/4 A$

$A = 4/5$

[axpgn]

Beh, no, nel senso che TR2 contiene anche quel triangolo centrale che contiene infiniti annidamenti quindi non puoi semplicemente togliere TR2 da TR1 a mio parere (sempre che io abbia ben compreso ciò che volevi dire)

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

-> Alex

Si, hai compreso correttamente. TR1 e' quello che si vede nella figura, compreso tutti gli annidamenti.
TR2 e' una replica riscalata di 1/4, compresi gli annidamenti, solo che e' a colori invertiti, quindi ha segno opposto rispetto a TR1.
PS. Ho riletto meglio il tuo messaggio: non si toglie TR2 da TR1, ma si toglie TR2 dall'area totale $1$.

L'area nera e' 1 (TR1 tutto nero) a cui viene sovrapposta "algebricamente" la sua replica.
In altre parole e' una figura ricorsiva che contiene se stessa, una specie di frattale.
Del resto per trovare la soluzione della serie geometrica $S = \sum_{k \ge 0} z^k$ come si fa ?
Si prende la serie e si sottrae la stessa serie "riscalata" $S - z S = 1$ da cui $S = 1/(1-z)$
E' un' po' lo stesso ragionamento.
Ma se non fosse cosi' il risultato corretto come si giustifica ? Una coincidenza ?

[axpgn]

"Quinzio":Si, hai compreso correttamente. TR1 e' quello che si vede nella figura, compreso tutti gli annidamenti.
TR2 e' una replica riscalata di 1/4, compresi gli annidamenti, solo che e' a colori invertiti, quindi ha segno opposto rispetto a TR1.

Non è proprio così ... comunque sì, la strada è sostanzialmente quella ...

La dimostrazione più semplice (a mio parere) è questa: suddividiamo il triangolo in questo modo



Non considerando il (piccolo) triangolo centrale (ovvero la replica), si nota subito che ci sono $12$ triangoli neri e $3$ bianchi ovvero il rapporto nero/totale è $12/15=4/5$; la parte centrale non è che altro che una replica del tutto quindi il rapporto nero/totale rimane tale.

Cordialmente, Alex

[gio73]

$4/5$

[axpgn]

[gio73]

Mi è piaciuto tantissimo

[axpgn]

[axpgn]

@gio73
[ot]Forse te l'ho già chiesto ma non lo ricordo
Per curiosità, ti è mai capitato di utilizzare in classe qualcuno dei problemi conosciuti qui?
Thanks [/ot]

Cordialmente, Alex

[gio73]

[ot]sì
Ad esempio con 4 punti 2 distanze[/ot]

[axpgn]

Grazie