Quante cifre ha $2^100$?

[LoreProvi]

Salve a tutti,
mi sto preparando per il test di ingresso alla facoltà di ingegneria e ho trovato questo quesito al quale non ho saputo rispondere. Non dovrebbe essere molto difficile ma non vedo la soluzione... se c'è qualcuno che mi può aiutare...

Il quesito è: Per quanti numeri interi positivi $n^100$ è un numero con meno di 50 cifre?
a) 1
b) 2
c) 3
d) più di tre, ma comunque un numero finito
e) infiniti

(La risposta fornità è c)

Dando per scontato che 1 soddisfa la condizione, come faccio a sapere, senza calcolarlo, quante cifre ha $2^100$? E più in generale qual è il metodo per stabilire il numero delle cifre di una qualsiasi potenza?

[rubik2]

non sono molto sicuro però mi sono detto il primo numero di 50 cifre è $10^49$ quindi vedo se $2^100<10^49$

$2^51<5^49$ quindi ottengo $(2/5)^49*4<1$ che mi sembra vera. questo procedimento però gia fallisce con 3 (almeno io non saprei vedere ad occhio se viene una disuguaglianza vera). quindi sono stato poco utile

[LoreProvi]

Ehm... perchè $2^51<5^49$? L'hai visto a occhio o c'è un calcolo da fare?

[Steven11]

"LoreProvi":Ehm... perchè $2^51<5^49$? L'hai visto a occhio o c'è un calcolo da fare?

Io lo darei per buono ad occhio, ma se non sei convinto...
Sicuramente risulta
$2^47<5^47$
E inoltre
$2^4<5^2$

Moltiplica la prima per la seconda e ti convinci.

[rubik2]

"LoreProvi":Ehm... perchè $2^51<5^49$? L'hai visto a occhio o c'è un calcolo da fare?

da $2^100<10^49$ ho diviso ambo i membri per $2^49$

[Steven11]

Continuo ciò che è stato iniziato da rubik.
$n^100<10^49->n^100<\frac{10^50}{10}$
Trattandosi di interi positivi, eleviamo tutto a un esponente $1/50$ ottenendo
$n^2<\frac{10}{root(50)(10)$
Ora il buon senso ci dice che $root(50)(10)$ è molto vicino a 1 (infatti vale 1.04), perciò
$\frac{10}{root(50)(10)}approx10$
Perciò
$n^2<10$ e trovi i valori 1,2,3.

Passatemi questa, d'altra parte è un esame per ingegneri e costoro fanno cose ben peggiori....

[G.D.5]

provo io poi vedete voi un pò se va o meno...

intanto $1^100=1$ sicuramente verifica quanto richiesto quindi il primo intero positivo ce lo abbiamo; l'intero positivo strettamente maggiore di $1$ è il suo successivo cioè $2$: proponiamoci di stabilire quante cifre ha il $2^100$.

cominciamo con l'osservare che se un numero $N$ non è una potenza di $10$ e ha $k$ cifre allora esso è minore di $10^k$ (la spiegazione è semplice: $10^k$ ha $k+1$ cifre quindi sicuramente è $N<10^k$) ed è maggiore di $10^(k-1)$ ($10^(k-1)$ ha lo stesso numero di cifre di $N$ - cioè $k$ - ma mentre $10^(k-1)$ è del tipo $1000 cdot cdot cdot 0$ invece $N$ è del tipo $abcd cdot cdot cdot e$ ove con le lettere intendo generiche cifre e non essendo $N$ una potenza di $10$ è evidente che quelle cifre non possono essere un $a=1$ e poi tutti e soli $0$ - altrimenti $N$ sarebbe potenza di $10$ - ma ce ne deve essere almena diversa da $0$ e questo implica il verso della disuguaglianza); in altri termini se $N$ ha $k$ cifre allora vale che

$10^(k-1)
da questo segue che, estraendo i logaritmi decimali si ha

$Log10^(k-1) k-1
cioè il logaritmo decimale di $N$ è compreso tra il precedente del numero delle cifre di $N$ e il numero stesso delle cifre di $N$: ci basterà quindi trovare il logaritmo decimale del numero $N$ stabilire i primi due interi tra i quali esso è compreso e il maggiore di essi è il numero delle cifre $k$ di $N$.

operando in questo modo nel nostro caso abbiamo

$Log2^100 = 100 cdot Log2 = 100 cdot 0,3010 = 30,10$

quindi $30<30,10<31$ e $2^100$ ha $31$ cifre decimali

procedendo allo stesso modo per gli interi $3$, $4$

$Log3^100= 100 cdot Log3= 100 cdot 0.4771=47,71$ e quindi $3^100$ ha $48$ cifre decimali
$Log4^100=100 cdot Log 4= 100 cdot 0,6020=60,20$ e quindi $4^100$ ha $61$ cifre decimali

pertanto, poichè all'aumentare dei numeri aumenta il logaritmo, possiamo concludere che per $n=1$, $n=2$ e $n=3$ si ha quanto richiesto: la risposta è c)

[Steven11]

La tua, Wizard, è decisamente migliore

[G.D.5]

grazie

[Aethelmyth]

In maniera più intuitiva bastava notare che le potenze di due a una cifra sono 3, così anche per quelle a due e tre cifre. Quelle di quattro cifre sono quattro e sono 1024 2048 4096 e 8192, che, a parte le centinaia, ricordano molto i famosi 2, 4, 8 iniziali. Quindi $2^n$, circa ogni $(3*3+4)n=13n$, aumenta di 4 cifre. Dato che $13*7$ fa 91, $2^91$ ha 28 cifre e $2^100$ ne ha 31.
Stesso ragionamento per $3^100$. Si nota facilmente che circa ogni due $n$ le cifre di $3^n$ aumentano di uno, quindi $3^100$ dovrebbe averne poco meno di 50 ($3*3=9$, $2,7*2$=$8,1$ e via diminuendo ). Ovviamente 4^100 avrà ben più di 50 cifre .

[bobila 32]

2^100=(2^20)^5, 2^20 è circa un milione(infatti un megabyte non è esattamente un milione ma 2^20 bytes), quindi(10^6)^5=10^30 cioè 31 cifre.[/img][/code]

[zorn1]

Un intero k ha meno di s cifre decimali se e solo se $Log_(10)k
Occorre quindi imporre: $Log_(10)n^100<50 iff 100Log_(10)n<50 $ per note proprietà dei logaritmi, $iff Log_(10)n<1/2 iff 1<=n<=3$ in quanto è $3=sqrt(9)

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