Quali sono i due numeri?

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Una strega rapisce due matematici, Anna e Bob, e gli appiccica sulla fronte due bigliettini su cui vi ha scritto un numero su ciascuno.
La strega dice ai due matematici che si tratta di due numeri naturali consecutivi. Ciascun matematico vede il numero dell'altro ma non il proprio. Per essere liberati ciascun matematico deve scoprire il numero che ha sulla propria fronte. Ai due matematici è permesso solo comunicare se sono in grado di determinare il proprio numero oppure se non sono in grado. Ecco il dialogo:
A: Non posso determinare il mio numero.
B: Non posso determinare il mio numero.
Strega: AHAHAH ho vinto per una volta...
A: Aspetta (tecnicamente non avrebbe potuto dirlo ma pazienza era giusto per mettere un po' di humor)
Strega:
A: Non posso determinare il mio numero.
B: Non posso determinare il mio numero.
A: Non posso determinare il mio numero.
B: Non posso determinare il mio numero.
A: Non posso determinare il mio numero.
B: Non posso determinare il mio numero.
A: Non posso determinare il mio numero.
B: Non posso determinare il mio numero.
A: Non posso determinare il mio numero.
B: Non posso determinare il mio numero.
A: Non posso determinare il mio numero.
B: Non posso determinare il mio numero.
A: Non posso determinare il mio numero.
B: Non posso determinare il mio numero.
A: Posso determinare il mio numero.
B: Posso determinare il mio numero.


Quali sono i due numeri?

[gabriella127]

I naturali li fai partire da $0$ 0 da $1$?

[axpgn]

Io non considero lo zero tra i naturali, e tu?

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Uhm... da dove vuoi
Alla fine ciò che conta è il ragionamento non veramente i due numeri.

[gabriella127]

"axpgn":Io non considero lo zero tra i naturali, e tu?

Non ho mai fatto una scelta, non ho preferenze, forse mi piace un po' più con lo zero, per un fatto estetico.
Lo trovo più naturale, più vicino all'atto di contare.

[Super Squirrel]

"3m0o":Quali sono i due numeri?

Spero di non dire baggianate, ma secondo il mio ragionamento, in caso di risposta iniziale negativa, dovrai accontentarti di un solo numero, che sarà pari ad $n$, con $r_n$ prima risposta affermativa ed $ninN$; l'altro lo conoscono solo i due malcapitati matematici (e la strega )!

Inoltre il primo a rispondere affermativamente dovrebbe avere appiccicato in fronte il maggiore tra i due numeri.

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Qual'è il tuo ragionamento?

[Super Squirrel]

"3m0o":

Qual'è il tuo ragionamento?

Perché sotto spoiler?!

In ogni caso prima di esporlo sarebbe troppo chiedere se la risposta è corretta o meno?

[axpgn]

Data la domanda che ho fatto a 3m0o penso si sia capito il mio ragionamento che è questo:

Il primo, che chiamiamo $A$, può determinare il suo numero solo se l'altro, $B$, ha il numero $1$.
Data la prima risposta di $A$ allora $B$ non ha il numero $1$ in fronte.
Da ciò anche $B$ capisce che non ha il numero $1$ e data la sua risposta non c'è l'ha neanche $A$, ma non solo, $A$ non ha in testa neppure il $2$ altrimenti $B$ avrebbe dedotto di avere il $3$, perché il $2$ è il nuovo minimo.
E così via ...

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

"axpgn":Data la domanda che ho fatto a 3m0o penso si sia capito il mio ragionamento che è questo:

Il primo, che chiamiamo $A$, può determinare il suo numero solo se l'altro, $B$, ha il numero $1$.
Data la prima risposta di $A$ allora $B$ non ha il numero $1$ in fronte.
Da ciò anche $B$ capisce che non ha il numero $1$ e data la sua risposta non c'è l'ha neanche $A$, ma non solo, $A$ non ha in testa neppure il $2$ altrimenti $B$ avrebbe dedotto di avere il $3$, perché il $2$ è il nuovo minimo.
E così via ...

Cordialmente, Alex

Veramente la domanda a 3m0o l'ho fatta io...
(E avevo evidentemente in testa quello che hai scritto tu).

[axpgn]

Anch'io l'avevo fatta

"axpgn":Io non considero lo zero tra i naturali, e tu?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Sono molto confuso
Ho chiesto a Super Squirrel di esporre il suo ragionamento, mi risponde axpgn dicendomi che con la domanda che ha fatto il suo ragionamento gli sembra chiaro, domanda che in realtà ha fatto gabriella127. Io adesso devo rispondere al posto di chi non ho capito?!
Ad ogni modo il ragionamento di gabriella127 (ed evidentemente anche di axpgn mi erano chiari), ma quello di Super Squirrel non mi era chiaro siccome alla fine diceva

ne determino solo 1. L'altro lo sanno solo i 2 matematici e la strega

[axpgn]

@3m0o

Sia io (indirettamente) che Gabriella ti abbiamo chiesto se partivi da zero o da uno perché il nostro ragionamento si basa sul fatto che esista un minimo che viene "innalzato" ad ogni passaggio finché si giunge alla situazione in cui il minimo è uno dei numeri in fronte.
Non c'è confusione, dai ...

Cordialmente, Alex

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Infatti il vostro era chiaro, quello di super squirrle no. Non ho capito se hai letto ciò che ho scritto o no

[gabriella127]

"3m0o":Sono molto confuso
Ho chiesto a Super Squirrel di esporre il suo ragionamento, mi risponde axpgn dicendomi che con la domanda che ha fatto il suo ragionamento gli sembra chiaro, domanda che in realtà ha fatto gabriella127. Io adesso devo rispondere al posto di chi non ho capito?!
Ad ogni modo il ragionamento di gabriella127 (ed evidentemente anche di axpgn mi erano chiari), ma quello di Super Squirrel non mi era chiaro siccome alla fine diceva

ne determino solo 1. L'altro lo sanno solo i 2 matematici e la strega

Non ti preoccupare, 3m0o, rispondi a chi vuoi. Io lo dicevo solo per questioni di Copyright .
Poi sono stata troppo pigra per scrivere l'intera soluzione.

Super Squirrel non ha ancora eposto il suo ragionamento, quindi aspettiamo.

[axpgn]

@3m0o
Non fare il furbo
Hai scritto

"3m0o":Sono molto confuso ... Io adesso devo rispondere al posto di chi non ho capito?!

Perciò ho ricapitolato

Se il nostro ragionamento ti è chiaro, puoi dirci anche se è corretto?


Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Era riferito al fatto che io ho domandato a super squirrel di esporre il suo ragionamento non a te o a gabriella! Ma mi avete risposto voi, e non capivo se dovevo rispondere come 3m0o o come chi
Ho scritto anche questo

"3m0o":
Ad ogni modo il ragionamento di gabriella127 (ed evidentemente anche di axpgn mi erano chiari), ma quello di Super Squirrel non mi era chiaro siccome alla fine diceva

[axpgn]

Tu rispondi a tutti che è meglio

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Allora:
@axpgn
Il tuo ragionamento è chiaro ed è stato chiaro fin dall'inizio!
@gabriella127
Il tuo ragionamento è chiaro ed è stato chiaro fin dall'inizio!
@super squirrel
Il tuo ragionamento non mi è chiaro, esponilo!

Edit:
E sono corretti.

[Super Squirrel]

"3m0o":@super squirrel
Il tuo ragionamento non mi è chiaro, esponilo!

Beh il ragionamento di fondo credo sia in linea con quello degli altri, semplicemente nel mio precedente post mi sono spinto oltre al fine di rispondere al quesito riportato nel messaggio iniziale su cui nessuno si è soffermato.

In ogni caso nel seguente schema sono riportati i numeri che il giocatore di turno dovrebbe leggere sulla fronte dell'altro affinché possa rispondere in modo affermativo:



Al diciassettesimo turno $A$ dichiara di essere in grado di determinare il proprio numero, il che si traduce nel fatto che $A$ e $B$ abbiano rispettivamente $17$ e $16$ o $18$ e $17$, coerentemente con quanto riportato nel precedente post:

"Super Squirrel":... in caso di risposta iniziale negativa, dovrai accontentarti di un solo numero, che sarà pari ad $n$, con $r_n$ prima risposta affermativa ed $ninN$; l'altro lo conoscono solo i due malcapitati matematici (e la strega )!

Inoltre il primo a rispondere affermativamente dovrebbe avere appiccicato in fronte il maggiore tra i due numeri.

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No, è giusta l'idea ma i due hanno rispettivamente 18 e 17. Il caso 17 e 16 non è possibile! È chiaro che parla per primo quello che vede un numero dispari (partendo dall'1) sulla fronte dell'altro altrimenti il fatto di non sapere non porta informazione aggiuntiva. Infatti se A avesse un numero dispari in testa e dichiara per primo che lui non sa che numero ha in fronte. B sapeva già questa cosa, perché vede un numero dispari in testa ad A quindi A vede un numero pari a B, al minimo 2 pertanto B sa già che A è indeciso tra l'avere l'1 oppure il 3 e non può saperlo solo guardando il numero in testa a B. Quindi B non deduce nulla dall'affermazione di A.
-Al primo turno A dichiara di non sapere, chiaramente se vedesse 1 saprebbe che possiede il 2. Quindi B non ha 1.
-Al secondo turno B dichiara di non sapere, se vedesse 2 avrebbe 1 oppure 3. Ma B non ha 1 poiché A non sa. Dunque saprebbe di avere il 3. Quindi A non ha non ha 2.
-Al terzo turno A dichiara di non sapere, se vedesse 3 saprebbe di avere il 4 per un ragionamento del tutto analogo a quello sopra.
etc
- In definitiva se all' n-esimo turno un giocatore qualunque dichiara per primo di sapere allora possiede \(n+1\)-esimo numero in testa. Mentre l'altro per forza \(n\)-esimo.
- Al 17esimo turno A dice di sapere quindi \(A\) possiede 18 mentre \(B\) 17.