Quale numero è il più grande?

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Edit: typo avevo dimenticato una moltiplicazione!

Alberto e Benedetta, per decidere chi paga la pizza decidono di lasciare il tutto al caso, o quasi.
Alberto propone di lanciare una moneta, testa o croce. Benedetta, per cambiare un po', propone un' altro gioco da 50 e 50...
B: "Alberto, ti propongo il seguente gioco, tu scriverai 2 numeri reali distinti qualunque compresi tra 0 e 100, ciascuno su uno di questi due fogli, diciamo \(0 < r_1 < 100\) e \(0 < r_2 < 100\), io non dovrò vederli! Dopodiché io guarderò uno dei due numeri, diciamo \(r_1\) e cercherò di indovinare quale dei due numeri è più grande. Se quello che ho guardato oppure quello che non ho guardato. Se indovino qual' è il numero più grande paghi tu, se sbaglio pago io!"
Per convincere Alberto, Benedetta propone il seguente ragionamento.
"Vedi Alberto, scrivendo due numeri distinti, diciamo che \(r_m < r_M \), io possiedo una probabilità del \( \frac{1}{2} \) di guardare \(r_m \) e possiedo una probabilità del \( \frac{1}{2} \) di guardare \( r_M\), e chiaramente guardare uno dei due numeri non mi porta nessuna nuova informazione sull'altro numero che hai scritto. Io ho 2 possibili strategie
Strategia 1:
Guardare un numero e dire che il numero guardato è il più grande.
Strategia 2:
Guardare un numero e dire che è l'altro numero il più grande.
In entrambi i casi ho una probabilità di \( \frac{1}{2} \) di indovinare qual'è il più grande. Infatti
\[ P(\text{strategia 1})= P(\text{guardo } r_m) \cdot P(\text{strategia 1} \mid \text{guardo } r_m) + P(\text{guardo } r_M)\cdot P(\text{strategia 1} \mid \text{guardo } r_M) \]
\[= \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \]
\[ P(\text{strategia 2})=P( \text{guardo } r_m ) \cdot P(\text{strategia 2} \mid \text{guardo } r_m) + P(\text{guardo } r_M) \cdot P(\text{strategia 2} \mid \text{guardo } r_M) \]
\[= \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2} \]

Comunque io scelga di adottare una strategia piuttosto che un'altra ho sempre una probabilità del \( \frac{1}{2}\) di vincere."

Alberto, convinto della correttezza delle argomentazioni di Benedetta, accetta il gioco perché è più stimolante del semplice lancio di una moneta.

Voi avreste accettato ? Se sì perché, se no perché?

[FreddyKruger]

Mi rendo conto di non averci riflettuto tanto, ma a rigore di logica mi sembra che davvero la probabilità sia sempre $\frac {1}{2}$. Mettiamoci nei panni di Alberto, supponiamo di aprire un foglietto e trovare scritto 99,9. Molto probabilmente saremmo portati a pensare che è il numero più grande, ma magari Benedetta avrà voluto crearsi la possibilità di vincere sicuramente se noi avessimo pescato il più piccolo dei due numeri scrivendo intenzionalmente due numeri molto grandi vicini a 100. Esempio su un foglietto 99,9 e sull'altro 99,95. Supponiamo che il numero da noi pescato sia invece 50. Buio totale. Viceversa stesso ragionamento con numero minuscoli. Onestamente mi aspetto che ci sia una regola, piuttosto che la soluzione si trovi con questo ragionamento banale, quindi aspetto l'opinione degli altri utenti

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Ti chiederei di mettere in spoiler la tua risposta

Comunque no... le argomentazioni di Benedetta sono forvianti, aggiungerei in modo subdolo

ps: hai invertito i ruoli di Benedetta e Alberto, ma questo è poco importante.

[gabriella127]

E' proprio l'impostazione del problema come la fa Benedetta che è sballata, mi pare.
Per me, l'errore principale del ragionamento di Benedetta è trattare il risultato della prima estrazione come una variabile casuale. No, la prima estrazione è per Benedetta un evento certo, l'informazione in base a cui calcolare la probabilità che il secondo numero estratto sia maggiore o minore. E Benedetta dirà che il secondo numero estratto è minore, se il primo è maggiore di 50, e viceversa.
Il modello giusto del gioco sarebbe: dato un numero $n$ tra $1$ e $100$, quel è la probabilità che un numero estratto a caso da un'urna (con numeri tra e 100, tolto $n$) sia maggiore (minore) di quello?
Quindi, la prima estrazione dà a Benedetta un vantaggio informativo, Benedetta ha imbrogliato Alberto.

p.s. vabbe' erano numeri reali, non interi, me ne accorgo ora, ma non cambia.

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@gabriella127

No, forse ho scritto male io e non si capiva, ma Benedetta sceglie a caso uno dei due fogli e lo gira. Se vuoi è come se lanciasse una moneta se esce testa gira il primo foglietto se esce croce gira il secondo foglietto.

[gabriella127]

Sì, era chiaro, ma è la stessa cosa, Benedetta risponde dopo aver visto il primo numero, da dove venga questa informazione, se da una precedente estrazione o altro non cambia niente. Ai suoi fini, e ai fini del gioco, quando risponde, ha una informazione certa.
E' che va vista la giusta ottica, mi pare, non confondersi per il fatto che anche la prima è una estrazione, se glielo dicesse qualcuno il numero a Benedetta sarebbe la stessa cosa.
Diverso sarebbe se Benedetta rispondesse prima di vedere il primo numero.

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Allora non sono sicuro che tu stia dicendo la stessa cosa che dico io, penso di sì però
Se mi sai dire qual'è la probabilità di Benedetta di indovinare posso capirlo.
Perché io non ci vedo problemi nel modello trattato da Benedetta, semplicemente è ha mentito dicendo che ha solo 2 strategie. Infatti come lo ha spiegato Benedetta secondo me è giusto e dicendogli indipendentemente dalla scelta della strategia 1 o 2. Ma nella sua spiegazione è come se decidesse prima di guardare il numero quale strategia adottare e in quel caso la probabilità ha ragione essere 1/2, quindi non ci sono "errori" nella sua spiegazione. Semplicemente ha tralasciato una strategia ottimale per lei.
Che non mi pare essere: dire il secondo se il primo è maggiore di 50, e viceversa, ma qualcosa di molto simile

[ghira1]

Scelgo una funzione $f$ strettamente crescente da $mathbb{R}$ a $(0,1)$.

Scelgo uno dei due valori a caso e con probabilità $f(v)$ lo tengo.

[gabriella127]

@ 3m0o

Il fatto di dire maggiore o minore di 50 ce l'ho messo io. Perché mi sembra quella la logica corretta, per uno che sta giocando. Dopo aver visto il primo numero, la probabilità di indovinare dipende dal numero che esce per primo, ma è di certo maggiore di 1/2, a meno che non esca proprio 50 (o comunque il numero che divide a metà a probabilità). Voglio dire, se il primo numero è $99$ la probabilità che il secondo sia più basso è alta, se il primo numero è $1$ la probabilità che il secondo sia più piccolo è alta. E Benedetta sceglierà di conseguenza.
Comunque, poiché prima di scegliere ha visto il primo numero, Benedetta ha un vantaggio informativo, la sua probabilità di vincere è maggiore di $1/2$. Il gioco non è equo.
(E non c'entra niente, come dicevo sopra, che anche la prima è una estrazione, quando Bendetta sceglie, il primo numero è dato).

Quello che sottolineavo è che non è giusta la logica del ragionamento di Benedetta, così come espressa dalle formule, nel descrive correttamente il gioco: quello che tu dici è corretto, Benedetta sta descrivendo la probabilità di vincere scegliendo una strategia prima di guardare il primo numero.
Ma il gioco è un altro, scegliere dopo avere visto il primo numero. E in questo caso, il gioco non è equo,
così Benedetta ha più probabilità di vincere di Alberto.

p.s. Scusami se non ho ripreso quello che dici della terza sttrategia, ma non ho capito bene qual è

@ghira

che vuol dire "lo tengo"?

[axpgn]

Io non vedo problemi, nel gioco, mi pare chiaro, il fatto che poi Benedetta cerchi di convincere Alberto con argomentazioni (eventualmente) fallaci non lo ritengo importante al fine di valutarne la "convenienza", basta ignorarle

Comunque , conosco questo "gioco" in una versione "leggermente" (ma fondamentalmente) diversa
Anzi in più versioni, sempre più complicate: non ho ancora capito appieno la "soluzione"



Cordialmente, Alex

[ghira1]

"gabriella127":

@ghira

che vuol dire "lo tengo"?

Vuol dire che tengo quello. Non lo cambio per l'altro. Cosa avrei dovuto dire?

[gabriella127]

@ghira

Niente, non avevo capito, pensavo che era un refuso.

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@gabriella

Ho capito! Allora sì.
Comunque la strategia (che credo sia ottimale) per Benedetta è scegliere (con una distribuzione uniforme ( U(0,100) )) un numero che chiameremo (b). Guardare uno dei due numeri (r_1 ) e comparare (r_1) con (b).
Se (r_1 < b ) allora dirà che il più grande è il numero non guardato
Se ( b < r_1 ) allora dirà che il numero più grande è (r_1).
In questo modo la probabilità di Benedetta di indovinare è

[ p + frac{1}{2}(1-p) = frac{1}{2} + frac{p}{2} ]
dove
[ p = frac{r_M - r_m}{100} ]
e dove ( 0< r_m < r_M < 100) sono i due numeri scelti da Alberto.

@ghira non ho capito la tua soluzione onestamente!

@axpgn quali altre versioni?

[gabriella127]

Grazie 3m0o, mi fa piacere che ci riesce a capire, perché queste cose di probabilità sono scivolose, soprattutto quando le si va a esporre! A sé stessi una cosa sembra chiara, quando la vai dire caso mai è fumoso .
E le formule aiutano poco, poiché il problema spesso non è nelle formule, ma nel modo in cui si imposta il problema (dove facilmente ci sono argomenti capziosi, come in questo caso).
Sì, il punto importante è che la probabilità di vincita di Benedetta è superiore a $1/2$, quindi il gioco non è equo.

Anche io non ho capito molto la soluzione di ghira, penso che l'ha esposta un po' sinteticamente...

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Si si, lo so che sono difficili da spiegare, perché la probabilità è spesso controintuitiva! Vedi il problema di secret santa, che non riesco a far capire che la probabilità non è uniforme
Comunque secondo me Benedetta potrebbe benissimo scegliere di "giocare" in modo onesto e decidere la strategia prima di guardare il numero. Ed è per questo che lei è un po' subdola nel convincere Alberto a fare questo gioco. Perché è come se fosse una sua scelta avere probabilità 1/2 oppure avere una probabilità > 1/2.

[gabriella127]

"3m0o":
@axpgn quali altre versioni?

@3m0o, axpgn, ghira e chi legge

A proposito di giochi di probabilità, ne ricordo uno piuttosto famoso, e molto 'scivoloso', che riguardava il fatto di indovinare se dietro delle porte ci stavano delle capre o un'altra cosa che non mi ricordo
Qualcuno riesce a ricordarlo?
Scusate se cito solo le capre, ma è passato molto tempo, e non sono un'esperta di giochi, per cui non vado molto più in là delle capre

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Problema di Monty Hall

[gabriella127]

Grazie!