Quale cifra?

[axpgn]

Determinare la cifra delle centinaia del numero $q=sum_(k=1)^999 k*k!$

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Rilancio:
qual è la cifra che, in q, muore per prima? Nel senso quella la cui ultima occorrenza è più lontana dalla fine di q.

Ciao
B.

[dan952]

$\sum_{k=1}^{999}k \cdot k! =\sum_{k=1}^{999}(k+1-1) \cdot k! =\sum_{k=1}^{999}((k+1)!-k!)=1000!-1$, poiché 100|1000!, 9 è la risposta.

[axpgn]

ok dan,


@orsoulx

È il $6$ ...

[orsoulx]

@axpgn:
purtroppo sì: fumava troppo!
Ciao
B.

[marmi1]

Come si dimostra che quella è la cifra che muore prima?
Ciao,
Marmi

[orsoulx]

Secondo l'OMS, conoscendo quanto fosse dedita al tabagismo
Seriamente. Non credo esistano metodi diversi dal calcolare $ 999! $, eliminando ogni volta che si moltiplica per un multiplo di 5 gli zeri finali ed eseguendo i calcoli modulo $ 10^n $ con n sufficientemente grande.
Ciao
B.

[Black Magic]

Possiamo renderci conto che:

$\sum_{k=1}^999 k*k! =\sum_{k=1}^999 k(+1-1)*k! =\sum_{k=1}^999 (k+1)!-k!$

Questa somma è esattamente $1000!-1$, perché i termini si elidono a due a due tranne il più piccolo e il più grande, ovvero il massimo valore di (k+1)! e il più piccolo di k!. Tutti gli altri sono presenti nella somma a segni alterni e quindi vanno via.

Ora il numero $1000!$ ha certamente più di due zeri, perché tra i suoi fattori c'è 1000 (e 100), quindi la cifra delle centinaia di $1000!-1$ deve essere 9.

Edit
Non me ne ero accorto... Ora sono dal cellulare, spero sia ok.

[axpgn]

Ok, però metti a posto quell'espressione ...