Qualche problema.
Metto un po' di problemi a caso che ho visto di recente.
1) Consideriamo le somme del tipo \(\displaystyle \pm1 \pm 4 \pm 9 \pm 16 ... \pm n^2 \). Dimostrare
che ogni numero intero positivo si può rappresentare, per una opportuna
scelta dei segni e di \(\displaystyle n \), nel modo precedente.
Per esempio 3 = -1+4 (prendendo n=2)
Faccio solo questo esempio, perchè nel testo originale l'esempio riportato conteneva la chiave del problema in modo troppo lampante.. Così quindi è più divertente...
2)Siano \(\displaystyle m; n \)interi positivi. Trovare il più piccolo valore che può assumere
l'espressione: \(\displaystyle |2011^m-45^n| \)
Qua una dimostrazione è obbligatoria, visto che a tirare ad intuito si indovina facilmente
3)
Supponi che \(\displaystyle a, b, c, d \) siano interi positivi tali che \(\displaystyle a^5 = b^4 \), \(\displaystyle c^3 = d^2 \), e
\(\displaystyle c - a = 19 \). Determina \(\displaystyle d - b \).
4)
I numeri nella sequenza \(\displaystyle 101; 104; 109; 116;.... \) sono della forma \(\displaystyle a_n =
100 + n^2 \), dove\(\displaystyle n = 1; 2; 3;... \) Per ogni \(\displaystyle n \), sia \(\displaystyle d_n \) il massimo comune
divisione di \(\displaystyle a_n \) e \(\displaystyle a_{n+1} \). Trova il massimo valore di \(\displaystyle d_n \) al variare di \(\displaystyle n \) negli interi positivi.
1) Consideriamo le somme del tipo \(\displaystyle \pm1 \pm 4 \pm 9 \pm 16 ... \pm n^2 \). Dimostrare
che ogni numero intero positivo si può rappresentare, per una opportuna
scelta dei segni e di \(\displaystyle n \), nel modo precedente.
Per esempio 3 = -1+4 (prendendo n=2)
Faccio solo questo esempio, perchè nel testo originale l'esempio riportato conteneva la chiave del problema in modo troppo lampante.. Così quindi è più divertente...
2)Siano \(\displaystyle m; n \)interi positivi. Trovare il più piccolo valore che può assumere
l'espressione: \(\displaystyle |2011^m-45^n| \)
Qua una dimostrazione è obbligatoria, visto che a tirare ad intuito si indovina facilmente
3)
Supponi che \(\displaystyle a, b, c, d \) siano interi positivi tali che \(\displaystyle a^5 = b^4 \), \(\displaystyle c^3 = d^2 \), e
\(\displaystyle c - a = 19 \). Determina \(\displaystyle d - b \).
4)
I numeri nella sequenza \(\displaystyle 101; 104; 109; 116;.... \) sono della forma \(\displaystyle a_n =
100 + n^2 \), dove\(\displaystyle n = 1; 2; 3;... \) Per ogni \(\displaystyle n \), sia \(\displaystyle d_n \) il massimo comune
divisione di \(\displaystyle a_n \) e \(\displaystyle a_{n+1} \). Trova il massimo valore di \(\displaystyle d_n \) al variare di \(\displaystyle n \) negli interi positivi.
Risposte
Mi butto su i ...più facili ( 
) ovvero sul secondo e sul terzo.
2) Essendo \(\displaystyle 2011=44*45+31=(45-1)*45+31=45^2-14 \) l'espressione data si può scrivere come
\(\displaystyle |(45^2-14)^m-(45)^n| \)
Mi pare abbastanza evidente che il minimo si raggiunga per \(\displaystyle m=1,n=2 \)
In tal modo il minimo richiesto è:
\(\displaystyle min=|-14|=14 \)
3)Trattandosi di valori interi (positivi) posso porre :
a) \(\displaystyle d=m^3,b=n^5 \)
in modo che risulta :
\(\displaystyle c=d^{\frac{2}{3}}=m^2,a=b^{\frac{4}{5}}=n^4 \)
Pertanto la relazione data diventa:
\(\displaystyle m^2-n^4=19 \)
Ovvero:
\(\displaystyle (m-n^2)(m+n^2)=1*19 \)
Da qui risulta il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}m-n^2=1\\m+n^2=19 \end{cases}\)
che dà le soluzioni \(\displaystyle m=10,n=3 \)
Sostituendo in (a) si ha \(\displaystyle d=10^3=1000,b=3^5=243 \) e quindi \(\displaystyle d-b=1000-243=757 \)
Ci ho preso ?
) ovvero sul secondo e sul terzo.2) Essendo \(\displaystyle 2011=44*45+31=(45-1)*45+31=45^2-14 \) l'espressione data si può scrivere come
\(\displaystyle |(45^2-14)^m-(45)^n| \)
Mi pare abbastanza evidente che il minimo si raggiunga per \(\displaystyle m=1,n=2 \)
In tal modo il minimo richiesto è:
\(\displaystyle min=|-14|=14 \)
3)Trattandosi di valori interi (positivi) posso porre :
a) \(\displaystyle d=m^3,b=n^5 \)
in modo che risulta :
\(\displaystyle c=d^{\frac{2}{3}}=m^2,a=b^{\frac{4}{5}}=n^4 \)
Pertanto la relazione data diventa:
\(\displaystyle m^2-n^4=19 \)
Ovvero:
\(\displaystyle (m-n^2)(m+n^2)=1*19 \)
Da qui risulta il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}m-n^2=1\\m+n^2=19 \end{cases}\)
che dà le soluzioni \(\displaystyle m=10,n=3 \)
Sostituendo in (a) si ha \(\displaystyle d=10^3=1000,b=3^5=243 \) e quindi \(\displaystyle d-b=1000-243=757 \)
Ci ho preso ?
Sono corretti entrambi, ma nel 2) non è così evidente che il minimo sia 14, dimostra che non puoi ottenere valori inferiori a 14.
Per quanto riguarda l'1) conviene andare per casi piccoli nella speranza di trovare qualcosa di carino.. (E non cercate sempre la via più breve.. a volte quella più lunga è migliore... "piccolo hint" xD)
Per quanto riguarda il 4) si usa solo il fatto che se un numero divide due numeri allora divide tutte le loro combinazioni lineari.
Per quanto riguarda l'1) conviene andare per casi piccoli nella speranza di trovare qualcosa di carino.. (E non cercate sempre la via più breve.. a volte quella più lunga è migliore... "piccolo hint" xD)
Per quanto riguarda il 4) si usa solo il fatto che se un numero divide due numeri allora divide tutte le loro combinazioni lineari.
Prima che vengano dimenticati metto qualche hint o hintone xDD
(Meglio non guardare)
1)
Hintone!
4)
Hintone!
(Meglio non guardare)
1)
Hintone!
4)
Hintone!
Per quanto riguarda il problema 1) suddividiamo i numeri in quattro categorie 4K, 4K-1, 4K-2, 4K-3:
1) Quelli della forma 4K si ottengono arrivando fino al 4K-esimo N con l'alternanza di segni ciclica +--+ (infatti con +- si ottiene -2N-1 e con -+ si ottiene 2N+5; sommando si ottiene +4).
2) Quelli della forma 4K-2 si ottengono nel primo modo mettendo -1 anzichè +1.
3)Quelli della forma 4K-1(congrui a 3 modulo 4 e quindi esprimibili anche come 4K+3) si ottengono prendendo in considerazione i primi 4(K-1)+2 numeri e mettendo -1 e +4 (ottenendo quindi +3) all'inizio, poi aggiungendo 4K con il primo metodo.
4) Quelli della forma 4K-3 si ottengono nel terzo modo mettendo -1 anzichè +1.
4)
1) Quelli della forma 4K si ottengono arrivando fino al 4K-esimo N con l'alternanza di segni ciclica +--+ (infatti con +- si ottiene -2N-1 e con -+ si ottiene 2N+5; sommando si ottiene +4).
2) Quelli della forma 4K-2 si ottengono nel primo modo mettendo -1 anzichè +1.
3)Quelli della forma 4K-1(congrui a 3 modulo 4 e quindi esprimibili anche come 4K+3) si ottengono prendendo in considerazione i primi 4(K-1)+2 numeri e mettendo -1 e +4 (ottenendo quindi +3) all'inizio, poi aggiungendo 4K con il primo metodo.
4) Quelli della forma 4K-3 si ottengono nel terzo modo mettendo -1 anzichè +1.
4)
Va bene, praticamente è la stessa strada che ho preso pure io, però non ho ben capito cosa hai scritto al 4).
Il secondo 4 è un errore di digitazione, per terzo modo si intende punto 3)
Provo il quattro che mi sembra di aver già visto da qualche parte.
Come dici nell'hint \(\displaystyle d_n|100+n^2 \) e \(\displaystyle d_n|100+n^2+2n+1 \Rightarrow d_n|2n+1 \).
Però \(\displaystyle d_n|4(n^2+100) \) e \(\displaystyle d_n|(2n+1)^2=4n^2+4n+1 \Rightarrow d_n| 4n-399\).
Dal momento che \(\displaystyle d_n|2(2n+1) \) per sottrazione \(\displaystyle d_n|401 \), da cui \(\displaystyle d=1 \) o \(\displaystyle d=401 \).
Adesso 1 è certamente soluzione e mi tocca dimostrare se 401 funziona o no. Semplicemente mi basta costruire un caso. Suppongo che \(\displaystyle 2n+1=401 \) da cui \(\displaystyle n=200 \). Perciò \(\displaystyle a_n=4\cdot 100^2 +100= 100\cdot 401 \) ed \(\displaystyle a_{n+1}=a_n+2n+1 \). Il massimo valore di \(\displaystyle d_n \) è 401.
Come dici nell'hint \(\displaystyle d_n|100+n^2 \) e \(\displaystyle d_n|100+n^2+2n+1 \Rightarrow d_n|2n+1 \).
Però \(\displaystyle d_n|4(n^2+100) \) e \(\displaystyle d_n|(2n+1)^2=4n^2+4n+1 \Rightarrow d_n| 4n-399\).
Dal momento che \(\displaystyle d_n|2(2n+1) \) per sottrazione \(\displaystyle d_n|401 \), da cui \(\displaystyle d=1 \) o \(\displaystyle d=401 \).
Adesso 1 è certamente soluzione e mi tocca dimostrare se 401 funziona o no. Semplicemente mi basta costruire un caso. Suppongo che \(\displaystyle 2n+1=401 \) da cui \(\displaystyle n=200 \). Perciò \(\displaystyle a_n=4\cdot 100^2 +100= 100\cdot 401 \) ed \(\displaystyle a_{n+1}=a_n+2n+1 \). Il massimo valore di \(\displaystyle d_n \) è 401.
Praticamente identica Comunque l'ho presa da una gara a squadre, tu partecipi?
Comunque l'ho presa da una gara a squadre, tu partecipi?
Per quanto riguarda l'esercizio 2), per dimostrare che effettivamente $14$ è la soluzione, basta osservare che il modulo dell'espressione data avrà sempre $4$ oppure $6$ come ultima cifra (essendo differenza tra due numeri che finiscono con $1$ e $5$). Dunque si deve provare che $4$, $-4$, $6$ e $-6$ (numeri inferiori in modulo a $14$) non possono essere ottenuti al variare di $m$ e $n$ nell'espressione. E' evidente che $6$ e $-6$ non vanno bene ($2011^m$ non è mai multiplo di $3$, mentre $45^n$ sì, da cui la conclusione), invece $4$ e $-4$ non possono essere soluzione perché $2011^m$ è congruo a $3$ modulo $4$, mentre $45^n$ è congruo a $1$ modulo $4$, e la loro differenza in modulo è sempre pari, ma non multipla di $4$.
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