Quadrato perfetto

[leskd]

Ciao a tutti, qualcuno può spiegarmi il ragionamento per risolvere questo problema??

"Sia a un intero tale che a^2+200a+1 è un quadrato perfetto. Quanto vale a al massimo?"

Grazie

[Maryana67]

"mmaarrccoo":Ciao a tutti, qualcuno può spiegarmi il ragionamento per risolvere questo problema??

"Sia a un intero tale che a^2+200a+1 è un quadrato perfetto. Quanto vale a al massimo?"

Grazie

@mmaarrccoo

Ciao mmaarrccoo, vedo che ti sei registrato or ora e ci poni subito un bel giochetto...

Ora per la domanda che poni che è, se non ho capito male, quali sono, se ci sono, delle soluzioni intere e nel caso, quale è il massimo valore di $x$ (e di conseguenza anche di $n$)...
dopo aver letto lo spoiler ti dovrebbe essere tutto più facile... almeno spero!

... lo spunto per risolverla potrebbe essere questo "trucchettino" applicando "forzatamente" la regola dello sviluppo della differenza di due quadrati. Scusa se uso come consuetudine $x$ come variabile piuttosto che $a$ ma lo faccio solo per non confondermi rispetto ad una mia abitudine. Procedi così:

$ x^2 + 200x + 1= (x+100)^2 − 9999 = n^2 $

per qualche $n$ intero positivo. Semplicemente ho scritto $1$ come differenza tra $10000$ e $9999$, ricostruendo il quadrato del binomio $(x+ 100)$.

Inizialmente conviene limitare la ricerca a quelli positivi ma è evidente che quando ci sono quadrati, poi spuntano sempre anche soluzioni negative, che se considerate in valore assoluto potrebbero anche essere "maggiori" ma ciò dipende da quello che stai cercando... in ogni caso se fai tutto correttamente otterrai questa coppia di valori massimi:
$(x= 4900; n=4999).$ Per le soluzioni anche negative, ed in tutto mi sa che ce ne sono un bel po', pensaci tu e me le fai sapere...

Ciao Claudio.

[ollyolly1]

"mmaarrccoo":Ciao a tutti, qualcuno può spiegarmi il ragionamento per risolvere questo problema??

"Sia a un intero tale che a^2+200a+1 è un quadrato perfetto. Quanto vale a al massimo?"

Grazie

Io ho fatto così vedi se ti piace

$ a^2+200a+1=n^2 $ scrivibile anche come $ (a+100)^2-9999=n^2 $
essendo n naturale scrivo $ n=((a+100)-k))$ con pure k naturale (diverso da 0) [il meno in quanto sicuramente $ n Ora sostituendo con questo trucchetto si ottiene $ (9999/k)+k=2(a+100) $
essendo $ a+100 $ naturale allora cerchiamo k per cui divida 9999 e qui trovo tutte le soluzioni possibili immaginabili intere
ma noi vogliamo solo il massimo che si ottiene abbastanza spontaneamente inserendo k=1 (o k=9999)
e quindi ottenendo $ a=4900 $ e $ n=(a+100-k)=4999 $
e se per caso non sei convinto che per k=1 si ottenga il massimo studia la funzione in dipendenza da k (derivate massimi e minimi) ricordandoti che $ 1<=k<=9999 $

[leskd]

Perfetto, grazie mille ad entrambi