Quadrato Bucato

[axpgn]

Nell'immagine ci sono $32$ punti disposti in modo da formare un "quadrato bucato".



(Per intenderci, casomai sparisse l'immagine, i $32$ punti si trovano sulle coordinate intere da $(0,0)$ a $(5,5)$ a cui è stato tolto il "quadrato" formato dai punti $(2,2), (2,3), (3,2), (3,3)$)


Quanti "quadrati bucati" differenti si possono formare con $960$ punti?


Cordialmente, Alex

[megas_archon]

Dipende: togliendoli da dove (significa: i punti che togli sono rimossi da un sottoquadrato concentrico al primo? Se no, è posizionato liberamente?)? Quanto grandi (in quell'esempio hai tolto un quadrato 2x2; è rimasto un quadrato "spesso" 2: come fa induzione a partire da questo caso specifico per capire qual è la domanda in generale?)? Qual è la definizione di "quadrato" qui (perché la radice quadrata di 960 non è intera, è poco meno di 31, questo cosa significa, come sono messi i punti in quella figura, visto che non possono formare un quadrato perfetto?)?

Non ho veramente idea di cosa ci sia di divertente nel proporre alla gente di risolvere problemi che lasciano così tanto spazio all'interpretazione e all'ambiguità.

[axpgn]

Ma ci sei o ci fai?

[megas_archon]

Tu piuttosto!

[Gi81]

Anche secondo me non ci sono informazioni sufficienti per capire la definizione di "quadrato bucato". Però credo che la cosa sia voluta, così da permettere a chi si vuole cimentare nella soluzione di porsi delle domande e di vedere il problema sotto vari punti di vista. Quindi, la vedo come ambiguità "stimolante".

[Gi81]

Io il problema l'ho interpretato così:

In quanti modi possibili $960$ è esprimibile come differenza di due quadrati perfetti?
Ovvero, bisogna trovare tutti gli $(a,b) in NN^2$ tali che $a^2-b^2 = 960$

Ora, per ogni $k in ZZ \\{0}$, posti
${(a_k := 240/k +k),(b_k := 240/k - k):}$
si ha $a_k^2 - b_k^2 = (a_k + b_k )(a_k - b_k) = 2* 240/k *(2k) = 960$.
Mettendo la condizione che $k | 240$, si ha $a_k, b_k in ZZ$.
Mettendo la condizione che $k >0$, si ha $a_k > 0$.
Mettendo la condizione che $k^2 < 240$ (ovvero $k<=15$), si ha $b_k >0$.

Quindi per $k in {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15}$ si ha che $960 = a_k^2 - b_k^2$.

Sospetto che non ci siano altre possibilità oltre a queste 10 (quindi mi verrebbe da dire che esistono 10 "quadrati bucati"), però in questo momento non saprei come dimostrarlo.

[Drazen77]

Non credo di aver capito bene il gioco, ma se è come penso io, direi $9$.

[axpgn]

Non è altro che la differenza tra "numeri quadrati" (Do you know "numeri triangolari", "numeri quadrati", "numeri pentagonali", ecc.? ), anzi in questo caso il contrario cioè data la differenza determinare la o le coppie $(m,n)$ che la generano: $m^2-n^2=960$.
Siccome $sqrt(960)<=m<=960/4+1$ le possibilità sono $10$ ovvero $(31,1),(32,8),(34,14),(38,22),(46,34),(53,43),(64,56),(83,77),(122,118),(241,239)$
Se poi uno si vuole divertire può determinare in quanti modi diversi può posizionarsi il "buco", per esempio con $(31,1)$ le diverse posizioni sono $29 xx 29$

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Ok, era come pensavo.
Ho scritto $9$ perché mi mancava l'ultimo: il $(241,239)$.

[Gi81]

@axpgn:

"axpgn":$m<=960/4+1$

Perché vale questa?

[axpgn]

La "cornice"

[Gi81]

Giusto!
Grazie

[Drazen77]

In realtà non ero sicuro se andasse considerato anche il primo (il $(31,1)$), perché ha un buco di $1$ punto: se consideriamo un punto come adimensionale, allora il buco in questione non esisterebbe...

[Quinzio]

Non ho una risposta completa, metto qui idee e abbozzi di idee.

Certamente $n_2^2 - n_1^2 = 960 = (n_2+n_1)(n_2-n_1) = 5*3*2^6$

Quindi si tratta di ripartire i fattori di $960$ tra $(n_2+n_1)$ e $(n_2-n_1)$.

La differenza $(n_2+n_1)-(n_2-n_1) = 2n_1$ e' pari quindi ognuna delle due ripartizioni deve avere un 2.

Facendo degli esempi:
$(5\ 3\ 2, 2^5)$ --- $30, 32$ --- $n_1 = 1$ --- $n_2 = 31$ --- $31^2 - 1^2 = 960$

Quante possibili ripartizioni abbiamo ?

Il 5 e il 3 possono stare tutti da una parte o separati. Quindi 2 ripartizioni per iniziare.
Per ognuna di queste possiamo spostare i 2 da una parte o dall'altra.
$(2^5, 2)$
$(2^4, 2^2)$
$(2^3, 2^3)$
$(2^2, 2^4)$
$(2, 2^5)$

Quindi in tutto 10 ripartizioni.
Queste sotto non sono equazioni, mancano tutti i simboli di "al quadrato" e altro.
$(5\ 3\ 32 - 2) = (480 - 2) = (241)(239)$
$(5\ 32 - 3\ 2) = (160 - 6) = (83)(77)$

$(5\ 3\ 16 - 4) = (240 - 4) = (122)(118)$
$(5\ 16, 3\ 4) = (80 - 12) = (46)(34)$

$(5\ 3\ 8, 8) = (120 - 8) = (64)(56)$
$(5\ 8, 3\ 8) = (40 - 24) = (32)(8)$

$(5\ 3\ 4, 16) = (60 - 16) = (38)(22)$
$(5\ 4, 3\ 16) = (20 - 48) = (34)(14)$

$(5\ 3\ 2, 32) = (30 - 32) = (31)(1)$
$(5\ 2, 3\ 32) = (10 - 96) = (53)(43)$

Ora, bisogna tenere conto che il buco si puo' muovere all'interno del quadrato piu' grande.
Bisogna lasciare anche una cornice esterna fatta dal quadrato piu' grande.
Ad es. un buco da 8x8 all'interno di un quadrato 10x10 ha $(10-8-1)^2 = 1$ modo di essere posizionato.
Ad es. un buco da 7x7 all'interno di un quadrato 10x10 ha $(10-7-1)^2 = 4$ modi di essere posizionato.

Allora bisogna prendere le differenze $n_2 - n_1$ dividere per 2, togliere 1 e elevare al quadrato. Sommare.

$2, 6, 4, 12, 8, 24, 16, 20, 30, 10$
$1, 3, 2, 6, 4, 12, 8, 10, 15, 5$
$0, 2, 1, 5, 3, 11, 7, 9, 14, 4$
$0, 4, 1, 25, 9, 121, 49, 81, 196, 16$
Somma = 502

Ecco questo dovrebbe essere il conteggio finale.

[axpgn]

Gran bel lavoro

Però ...

Le coppie di numeri quadrati sono $10$ e su questo non ci piove.
Ma su quante siano le disposizioni totali del "buco quadrato" non mi pare ...
Per esempio solo per la coppia $(31,1)$ le disposizioni diverse sono $29 xx 29 = 841$.

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

"axpgn":Gran bel lavoro

Però ...

Hai ragione, ci sono degli errori da mettere a posto. E andrebbe spiegato meglio.
Stasera lo vorrei mettere a posto. Credo che nell'ultima parte la divisione per 2 non e' corretta.
Purtroppo ultimamente a causa di qualche situazione spiacevole non riesco neanche a pensare con calma.