Quadrati perfetti
Si supponga che per qualche intero $x,y$ il seguente quoziente sia un intero
$(x^2+y^2)/(1+xy)$
mostrare che allora è un quadrato perfetto.
$(x^2+y^2)/(1+xy)$
mostrare che allora è un quadrato perfetto.
Risposte
La soluzione che conosco io non è banale (fa uso della geometria e dei lattice points). Anche quella che hai tu è la stessa?
è un esercizio che mi ha proposto un bravo studente del terzo liceo (bronzo italiano alle recenti olimpiadi!)
in realtà io fino a 10 minuti fa non avevo idea di come risolverlo e quello che mi dici almeno mi fa sentire
meno scemo (ho creduto che questo studente mi volesse mettere alla prova e che io avessi fallito!)
Ho però appena trovato una soluzione elementare, che però mi fai venire il dubbio che non sia corretta.
Eccola:
passiando in coordinate polari abbiamo
$(r^2)/(1+r^2cos\thetasin\theta)=(2r^2)/(2+r^2sin(2\theta))$
l'imposizione che questo rapporto sia intero per $r$ intero forza $sin2\theta=0,1,-1$ (dimostrare questo
formalmente non credo che sia del tutto una scemata), da cui segue $\theta=0,(\pi)/2,(3\pi)/4,(\pi)/4$. Le prime due condizioni implicano rispettivamente $y=0$ e $x=0$, da cui segue che il rapporto considerato è ovviamente un quadrato. La terza condizione implica invece $x=y$. La nostra bella frazione diventa allora $(x^2)/(1+x^2)$ che mi sembra che non abbia alcuna speranza di essere un intero, a meno del caso banale $x=1$ in cui dà 1, che è appunto un quadrato.
L'ultima condizione si può escludere se lavoriamo con $x,y>0$, ma comunque ammette una discussione
analoga a quella appena fatta.
in realtà io fino a 10 minuti fa non avevo idea di come risolverlo e quello che mi dici almeno mi fa sentire
meno scemo (ho creduto che questo studente mi volesse mettere alla prova e che io avessi fallito!)
Ho però appena trovato una soluzione elementare, che però mi fai venire il dubbio che non sia corretta.
Eccola:
passiando in coordinate polari abbiamo
$(r^2)/(1+r^2cos\thetasin\theta)=(2r^2)/(2+r^2sin(2\theta))$
l'imposizione che questo rapporto sia intero per $r$ intero forza $sin2\theta=0,1,-1$ (dimostrare questo
formalmente non credo che sia del tutto una scemata), da cui segue $\theta=0,(\pi)/2,(3\pi)/4,(\pi)/4$. Le prime due condizioni implicano rispettivamente $y=0$ e $x=0$, da cui segue che il rapporto considerato è ovviamente un quadrato. La terza condizione implica invece $x=y$. La nostra bella frazione diventa allora $(x^2)/(1+x^2)$ che mi sembra che non abbia alcuna speranza di essere un intero, a meno del caso banale $x=1$ in cui dà 1, che è appunto un quadrato.
L'ultima condizione si può escludere se lavoriamo con $x,y>0$, ma comunque ammette una discussione
analoga a quella appena fatta.
"ubermensch":
l'imposizione che questo rapporto sia intero per $r$ intero forza $sin2\theta=0,1,-1$ (dimostrare questo
formalmente non credo che sia del tutto una scemata.
che non è neanche vero!
Questo problema si può risolvere con strumenti elementari. Ho una soluzione (non mia) dove viene risolto con la discesa infinita.
se hai tempo/voglia la puoi postare?
Questo problema è di IMO '88, in Australia, ed è era considerato molto difficile fino a non molto tempo fa. Poi sono state trovate alcune soluzioni elementari. Una è qui. E qui si parla a lungo di questo problema e ci sono anche altre soluzioni. Quindi penso che il tuo amico volesse fare il simpatico 
.
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mi ha detto che gli è stato assegnato da un prof per esercitarsi e non sapeva quanto fosse
difficile.
difficile.
Curiosando tra i risultati delle IMO 1988, si nota che la recente medaglia Fields, Terence Tao, in quell'occasione non riuscì a risolvere il problema. Attenzione, però, prima di sopravvalutare il problema: Tao, medaglia d'oro, aveva appena compiuto 13 anni!
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