Quadrati perfetti

[eafkuor1]

Dato un intero $k$, provare che ci sono infinite triplette di interi $(a,b,c)$ tali che $bc-k$, $ca-k$ e $ab-k$ sono quadrati perfetti.

[carlo232]

"eafkuor":Dato un intero $k$, provare che ci sono infinite triplette di interi $(a,b,c)$ tali che $bc-k$, $ca-k$ e $ab-k$ sono quadrati perfetti.

Caso k=1

Esistono infinite triplette di interi $(a,b,c)$ tali che $bc-1$, $ca-1$ e $ab-1$ sono quadrati perfetti, infatti si possono ricavare
tali interi dato un intero $j$ arbitrario si ha

$a=1$

$b=4j^4+1$

$c=j^2+1$

tali triplette soddisfano le condizioni richieste infatti si ha

$ab-1=(2j^2)^2$

$ac-1=j^2$

$bc-1=(2j^3+j)^2$

Complimenti eafkuor hai postato un bel problema, vedo se riesco a fare qualcosa per il caso generale

Ciao, ciao!

[carlo232]

"eafkuor":Dato un intero $k$, provare che ci sono infinite triplette di interi $(a,b,c)$ tali che $bc-k$, $ca-k$ e $ab-k$ sono quadrati perfetti.

Caso generale

Esistono infinite triplette di interi $(a,b,c)$ tali che $bc-m^2$, $ca-m^2$ e $ab-m^2"$ sono quadrati perfetti, queste triplette si ottengono dato un intero $j$ arbitrario

$a=1$

$b=j^2+2j+k+1$

$c=j^2+k$

Infatti si ha

$ab-k=(j+1)^2$

$ac-k=j^2$

$bc-k=(j^2+j+k)^2$

PS credo sia giusto

[eafkuor1]

a me sembra giusto, anche se non ho capito perchè all' inizio metti $bc-m^2$, $ca-m^2$, $ab-m^2$

[carlo232]

"eafkuor":a me sembra giusto, anche se non ho capito perchè all' inizio metti $bc-m^2$, $ca-m^2$, $ab-m^2$

Perchè ho fatto un casino, pensavo di aver dimostrato solo il caso $k$ quadrato perfetto e invece ho dimostrato il caso generale, comunque adesso ho corretto. Per curiosità il problema che hai postato è una tua congettura, un tuo teorema o un teorema già conosciuto?

Ciao, ciao!

[eafkuor1]

no no, è un teorema già ben conosciuto
comunque complimenti!

[carlo232]

"eafkuor":no no, è un teorema già ben conosciuto
comunque complimenti!

Nonostante i casini che ho fatto? Beh,grazie...

Ciao, ciao!