Quadrati particolari
Determinare tutti gli interi positivi il cui quadrato termina con tre cifre uguali
a "4". (Esempio :1038^2=1077444)
Esistono interi il cui quadrato termina con quattro "4" ?
Archimede
a "4". (Esempio :1038^2=1077444)
Esistono interi il cui quadrato termina con quattro "4" ?
Archimede
Risposte
"archimede":
Determinare tutti gli interi positivi il cui quadrato termina con tre cifre uguali
a "4". (Esempio :1038^2=1077444)
Esistono interi il cui quadrato termina con quattro "4" ?
Archimede
Sono i numeri che hanno come ultime cifre 038 o 538 o 462 0 962.
La risposta alla seconda domanda è no, si verifica calcolando i residui quadratici modulòo 10000.
Adesso faccio io una domanda, e i numeri il cui quadrato termina con cinque 4?
Una qualche dimostrazione ?
Ciao.
Archie
Ciao.
Archie
"archimede":
Una qualche dimostrazione ?
Ciao.
Archie
Non l'ho postata perchè è poco elegante, comunque se ci tieni. Sia $n$ un numero il cui quadrato termina con tre 4.Allora abbiamo $n^2 -=444 mod 1000$. La Teoria dei Residui Quadratici ci dice che una volta trovati tutti i numeri $0=
Ciao,ciao!
Se la tua e' poco elegante figurati la mia che si base su piu' modeste
considerazioni semialgebriche.
Trovo invece molto interessanti le questioni di aritmetica delle congruenze .
Archimede.
considerazioni semialgebriche.
Trovo invece molto interessanti le questioni di aritmetica delle congruenze .
Archimede.
"archimede":
Trovo invece molto interessanti le questioni di aritmetica delle congruenze .
Archimede.
Si, anche secondo me sono molto interessanti. Ne discendono molti teoremi tutt'altro che ovvi, tipo ogni numero primo congruo a 1 modulo 4 è somma di due quadrati e il meno conosciuto ogni numero primo congruo a 1 modulo 6 è somma di un quadrato e del triplo di un quadrato.
Ciao, ciao!
Si, anche secondo me sono molto interessanti. Ne discendono molti teoremi tutt'altro che ovvi, tipo ogni numero primo congruo a 1 modulo 4 è somma di due quadrati e il meno conosciuto ogni numero primo congruo a 1 modulo 6 è somma di un quadrato e del triplo di un quadrato.
Queste due dimostrazioni non sono presentate quasi da nessun libro. Ci si limita solo a dire che sono estremamente complicate. Sarei proprio curioso di vederle.
"Crook":Si, anche secondo me sono molto interessanti. Ne discendono molti teoremi tutt'altro che ovvi, tipo ogni numero primo congruo a 1 modulo 4 è somma di due quadrati e il meno conosciuto ogni numero primo congruo a 1 modulo 6 è somma di un quadrato e del triplo di un quadrato.
Queste due dimostrazioni non sono presentate quasi da nessun libro. Ci si limita solo a dire che sono estremamente complicate. Sarei proprio curioso di vederle.
Io le conosco!
Un attimo di tempo per scrverle e le posto!
Ciao, ciao!
Ah,grazie. Non è che hai trovato anche delle dimostrazioni alternative e piu' eleganti? 
"Crook":
Ah,grazie. Non è che hai trovato anche delle dimostrazioni alternative e piu' eleganti?
No, devo dire che la dimostrazione di Eulero è elegantissima. Mi sembra esista una dimostrazione di solo 3 righe, ma che poggia su un qualche teorema complicatissimo quindi non vale la pena di conoscerla...
"carlo23":
[quote="Crook"]Ah,grazie. Non è che hai trovato anche delle dimostrazioni alternative e piu' eleganti?
No, devo dire che la dimostrazione di Eulero è elegantissima. Mi sembra esista una dimostrazione di solo 3 righe, ma che poggia su un qualche teorema complicatissimo quindi non vale la pena di conoscerla...[/quote]
Sono sicuro, comunque, che con un po' di impegni ci riusciresti
.
Per la gioia di Crook e degli altri:
Prima di tutto dimostriamo che l'equazione $mp=a^2+b^2$ dove $p$ è un numero primo $-=1 mod 4$ ha soluzione.
Consideriamo un $a$ qualsiasi, abbiamo per il criterio di Eulero che $-a$ è un residuo quadratico modulo $p$ se e solo se
$(-a)^((p-1)/2) -= 1 mod p$
quindi $-1$ è un residuo quadratico e l'equazione ha sicuramente soluzione per un qualche $m$.
Sia $m_0$ la soluzione più piccola, dimostriamo che $m_0=1$, per assurdo $m_0>1$ allora
$m_0p=a^2+b^2$
e per l'algoritmo di Euclide segue che si può scrivere
$a=xm_0+x_1$ con $-m_0/2
$b=ym_0+y_1$ con $-m_0/2
e da ciò segue che
$qm_0=x_1^2+y_1^2$ per qualche $q
e abbiamo
$m_0^2qp=(x_1^2+y_1^2)(a^2+b^2)=(ax_1+by_1)^2+(ay_1-bx_1)^2$
ma anche
$ax_1+by_1=xx_1m_0+x_1^2+yy_1m_0+y_1^2=xx_1m_0+yy_1m_0+qm_0=sm_0$ per qualche $s$
$ay_1-bx_1=xy_1m_0+x_1y_1-ym_0x_1+x_1y_1=xy_1m_0-ym_0x_1=tm_0$ per qualche $t$
ciò implica che
$qp=s^2+t^2$
quindi anche $q$ è una soluzione $
Il secondo teorema si dimostra in modo analogo, semmai lo scrivo dopo.
Spero di aver scritto tutto giusto,
Ciao,ciao!
Prima di tutto dimostriamo che l'equazione $mp=a^2+b^2$ dove $p$ è un numero primo $-=1 mod 4$ ha soluzione.
Consideriamo un $a$ qualsiasi, abbiamo per il criterio di Eulero che $-a$ è un residuo quadratico modulo $p$ se e solo se
$(-a)^((p-1)/2) -= 1 mod p$
quindi $-1$ è un residuo quadratico e l'equazione ha sicuramente soluzione per un qualche $m$.
Sia $m_0$ la soluzione più piccola, dimostriamo che $m_0=1$, per assurdo $m_0>1$ allora
$m_0p=a^2+b^2$
e per l'algoritmo di Euclide segue che si può scrivere
$a=xm_0+x_1$ con $-m_0/2
$b=ym_0+y_1$ con $-m_0/2
e da ciò segue che
$qm_0=x_1^2+y_1^2$ per qualche $q
e abbiamo
$m_0^2qp=(x_1^2+y_1^2)(a^2+b^2)=(ax_1+by_1)^2+(ay_1-bx_1)^2$
ma anche
$ax_1+by_1=xx_1m_0+x_1^2+yy_1m_0+y_1^2=xx_1m_0+yy_1m_0+qm_0=sm_0$ per qualche $s$
$ay_1-bx_1=xy_1m_0+x_1y_1-ym_0x_1+x_1y_1=xy_1m_0-ym_0x_1=tm_0$ per qualche $t$
ciò implica che
$qp=s^2+t^2$
quindi anche $q$ è una soluzione $
Il secondo teorema si dimostra in modo analogo, semmai lo scrivo dopo.
Spero di aver scritto tutto giusto,
Ciao,ciao!
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