Quadrati nel quadrato

[axpgn]

Dati cinque quadrati di lato unitario, determinare la misura del lato del più piccolo quadrato che li contiene tutti, senza sovrapposizioni o fuoriuscite dai bordi.


Cordialmente, Alex

[mgrau]

$2sqrt(2)$

[axpgn]

No.

[Mathita]

Non so dimostrare se è l'ottimo. Provo con $1+\sqrt{2 }$

[axpgn]

Gli hai fatto una cura dimagrante per farceli stare? ... comunque è no

[Mathita]

No, peggio, non so razionalizzare a mente.

Provo con $(1+2 \sqrt{2})/\sqrt{2}$

[axpgn]

Esatto!

Però, adesso, due cose ...

La prima è che devi farci vedere come li disponi ma soprattutto la seconda è che devi dimostrare che è il minimo possibile
La prima presumo che tu la conosca, dato che hai risposto, la seconda la vedo un po' più difficile (ma possiamo passarci sopra )


Cordialmente, Alex

[Mathita]

Provo a descrivere la disposizione. Bisogna posizionare quattro quadrati in modo che abbiano i lati paralleli a due a due, distanziati quanto basta per inserire il quinto quadrato in mezzo ruotato di 45 gradi, facendo in modo che il punto medio di ogni suo lato tocchi un vertice degli altri quadrati... Ma che sto scrivendo? Si capisce?!

Per la dimostrazione: avevo un giochino che mi chiedeva di fare la stessa cosa. L'unica soluzione possibile era questa. Cv - ehm - d?

[axpgn]

Intendi così?




Sulla dimostrazione lasciamo stare ...

Cordialmente, Alex

[Mathita]

Esatto! Grazie per l'immagine (e per avermi dispensato dalla dimostrazione).

[axpgn]

La dimostrazione è di un certo Frits Göbel nel lontano 1979.

Ah, dimenticavo!

"Attaccato" a questo problema c'era un'extra, dedicato a chi ha tempo da perdere rompendosi la testa perché il quesito è "unsolved" (o almeno lo era quando hanno lo hanno pubblicato)

Prove that $n^2+1$ unit squares in a plane cannot cover a square of side lenght greater than $n$.
(The perimeter and the interior of the given square must be covered).

Per esempio, dieci quadrati ricoprono tranquillamente un quadrato $3 xx 3$ ma non coprono un quadrato di lato $3+epsilon$, per quanto piccolo sia $epsilon$.

[ElementareWatson]

Beh se non è troppo complicata da scrivere inseriscila, così si completa il problema. Poi fa sempre bene alla salute leggere una dimostrazione

[axpgn]

Non l'ho ancora trovata, é citato in varie parti ma il paper su cui l'ha scritta non lo trovo.
Peraltro sarebbe comunque da vedere se la capisco

[axpgn]

Trovata!

Sembra un ciclostilato ( ) e come supposto non mi è molto chiara ...

Comunque eccola ...

Premessa: [size=150]$S(z)$[/size] significa il quadrato di lato [size=150]$z$[/size]


[size=150][tt]PROPOSITION 1. $S':= S(2+1/2sqrt(2)-epsilon)$ cannot be packed with $5$ unit squares ($epsilon>0$).


OUTLINE OF PROOF. Take an $S'$ and draw four lines in its interior, parallel to the sides and at a distance $1-epsilon/3$ from the sides (see figure 2).

It is sufficient to show that any unit square $S(1)$ in $S'$ covers at least one of the points $A, B, C, D$. There are $3$ cases.

1) The centre of $S(1)$ in in region $I$. Then an easy calculation in analytic geometry shows that $A$ is covered.

2) The centre of $S(1)$ is in $II$. Suppose the centre $M$ is closest to $A$. Then the distance $d(A,M)$ is $<1/2$, hence $A$ is covered by $S(1)$.

3) The centre is in $III$. Without loss of generality we assume one vertex of $S(1)$ on the upper edge of $S'$. Again, a simple calculation shows that the lenght of the intersection of $S(1)$ and the line at distance $1-epsilon/3$ from the upper edge has length $> 1/2sqrt(2)-epsilon/3$, hence $A$ or $B$ is covered.[/tt][/size]

[gio73]

$2sqrt2$

Per il problema iniziale

[axpgn]

No.