Quadrati e cubi, SNS 2006/2007
Ciao a tutti, voglio proporre un problema presente nel test d'ammissione alla SNS l'anno scorso.
Voglio vedere la vostra soluzione e compararla con la mia.
a)Siano dati tre numeri naturali $a,b,c$ per cui vale $gcd(a,b,c)=1$
Si mostri che se vale
$sqrta+sqrtb=sqrtc$
allora i tre numeri sono quadrati perfetti.
E' necessariamente vera la conclusione se si omette che i tre numeri sono coprimi tra loro?
b)Sia invece
$root(3)(a)+root(3)(b)=root(3)(c)$
Mostrare che i tre numeri sono cubi perfetti.
Voglio vedere la vostra soluzione e compararla con la mia.
a)Siano dati tre numeri naturali $a,b,c$ per cui vale $gcd(a,b,c)=1$
Si mostri che se vale
$sqrta+sqrtb=sqrtc$
allora i tre numeri sono quadrati perfetti.
E' necessariamente vera la conclusione se si omette che i tre numeri sono coprimi tra loro?
b)Sia invece
$root(3)(a)+root(3)(b)=root(3)(c)$
Mostrare che i tre numeri sono cubi perfetti.
Risposte
Secondo me l'ipotesi M.C.D.(a,b,c)=1 non e' essenziale ma ci si puo' sempre
ricondurre ad essa.
Infatti supponiamo che sia M.C.D.(a,b,c)=k>1,allora si puo' porre:
a=ka',b=kb',c=kc' dove e' M.C.D.(a',b',c')=1 .
In tal modo la relazione data diventa:
$sqrt(ka')+sqrt(kb')=sqrt(kc')$ e dividendo per $sqrt(k)$ (che non e' nullo) si ha:
$sqrt(a')+sqrt(b')=sqrt(c')$
Veniamo ora alla dimostrazione .Elevando al quadrato risulta:
(1) $a+b+2sqrt(ab)=c$ , da cui $2sqrt(ab)=c-a-b$
Poiche il secondo membro di quest'ultima eguaglianza e' un intero,questo richiede
che a*b sia un quadrato esatto.Dato che a e b sono coprimi ,cio' implica che
a e b siano ciascuno un quadrato esatto:
$a=m^2,b=n^2$ e sostituendo nella (1) si ha:
$m^2+n^2+2mn=c$ e dunque $ c=(m+n)^2$
Per la seconda eguaglianza si puo' ricorrere alla identita':
$(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$
Pertanto ,elevando al cubo la relazione data,si ottiene:
$a+b+3root[3](ab)*(root[3](a)+root[3](b))=c$
Oppure :
$a+b+3*root[3](abc)=c$.
Da cui ragionando come prima si deduce che a,b,c devono essere cubi esatti.
karl
ricondurre ad essa.
Infatti supponiamo che sia M.C.D.(a,b,c)=k>1,allora si puo' porre:
a=ka',b=kb',c=kc' dove e' M.C.D.(a',b',c')=1 .
In tal modo la relazione data diventa:
$sqrt(ka')+sqrt(kb')=sqrt(kc')$ e dividendo per $sqrt(k)$ (che non e' nullo) si ha:
$sqrt(a')+sqrt(b')=sqrt(c')$
Veniamo ora alla dimostrazione .Elevando al quadrato risulta:
(1) $a+b+2sqrt(ab)=c$ , da cui $2sqrt(ab)=c-a-b$
Poiche il secondo membro di quest'ultima eguaglianza e' un intero,questo richiede
che a*b sia un quadrato esatto.Dato che a e b sono coprimi ,cio' implica che
a e b siano ciascuno un quadrato esatto:
$a=m^2,b=n^2$ e sostituendo nella (1) si ha:
$m^2+n^2+2mn=c$ e dunque $ c=(m+n)^2$
Per la seconda eguaglianza si puo' ricorrere alla identita':
$(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$
Pertanto ,elevando al cubo la relazione data,si ottiene:
$a+b+3root[3](ab)*(root[3](a)+root[3](b))=c$
Oppure :
$a+b+3*root[3](abc)=c$.
Da cui ragionando come prima si deduce che a,b,c devono essere cubi esatti.
karl
Ho ragionato come karl, ma nel primo caso ho detto che i tre numeri devono necessariamente essere coprimi (infatti non ho capito come ci si riconduce nel caso in cui i tre numeri non siano coprimi).
Anch'io sono ricorso alla quadratura per poi arrivare a fare le considerazioni sulla razionalità e irrazionalità.
Tuttavia io ritengo che affinchè la prima tesi sia vera, i tre numeri devono essere coprimi.
Infatti c'è un controesempio
$sqrt3+sqrt12=sqrt27$
Tuttavia io ritengo che affinchè la prima tesi sia vera, i tre numeri devono essere coprimi.
Infatti c'è un controesempio
$sqrt3+sqrt12=sqrt27$
Proprio il controesempio prova che la relazione puo' valere anche
se a,b,c non sono quadrati esatti e non sono coprimi.
Se invece essi sono coprimi ,allora ,se e' vera la relazione, essi devono
essere necessariamente quadrati esatti.
Questo volevo dire.
karl
se a,b,c non sono quadrati esatti e non sono coprimi.
Se invece essi sono coprimi ,allora ,se e' vera la relazione, essi devono
essere necessariamente quadrati esatti.
Questo volevo dire.
karl
"karl":
Proprio il controesempio prova che la relazione puo' valere anche
se a,b,c non sono quadrati esatti e non sono coprimi.
Se invece essi sono coprimi ,allora ,se e' vera la relazione, essi devono
essere necessariamente quadrati esatti.
Questo volevo dire.
karl
ok avevo inteso male.
"karl":
Proprio il controesempio prova che la relazione puo' valere anche
se a,b,c non sono quadrati esatti e non sono coprimi.
Se invece essi sono coprimi ,allora ,se e' vera la relazione, essi devono
essere necessariamente quadrati esatti.
Questo volevo dire.
karl
Ok, va bene.
Ho detto una sciocchezza io prima.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo