Putnam, 1952
Sia
$f(x)=sum_(k=0)^na_(k)x^(n-k)$
un polinomio di grado $n$ con coefficienti interi. Se $a_(0)$, $a_(n)$ e $f(1)$ sono tutti dispari provare che $f(x)=0$ non ha radici razionali.
In alternativa:
siano $a, a!=0, m, n$ interi positivi. Provare che
$(a^m-1, a^n-1)=a^(m,n)-1$
dove la notazione $(x, y)$ equivale a $gcd(x, y)$ il $MCD$ tra $x$ e $y$.
$f(x)=sum_(k=0)^na_(k)x^(n-k)$
un polinomio di grado $n$ con coefficienti interi. Se $a_(0)$, $a_(n)$ e $f(1)$ sono tutti dispari provare che $f(x)=0$ non ha radici razionali.
In alternativa:
siano $a, a!=0, m, n$ interi positivi. Provare che
$(a^m-1, a^n-1)=a^(m,n)-1$
dove la notazione $(x, y)$ equivale a $gcd(x, y)$ il $MCD$ tra $x$ e $y$.
Risposte
Se per assurdo $f$ ha una radice razionale $r/s$ con $gcd(r,s)=1$ e $s ne 0$, allora
$0=f(r/s)=1/s^n(a_n s^n + a_{n-1} r s^{n-1} + \cdots +a_1 r^{n-1} s + a_0 r_n)$, ossia
$a_n s^n + a_{n-1} r s^{n-1} + \cdots +a_1 r^{n-1} s + a_0 r^n=0$
Se $r$ è pari necessariamente $s$ è dispari, quindi
$0\equiv a_n s^n + a_{n-1} r s^{n-1} + \cdots +a_1 r^{n-1} s + a_0 r^n\equiv a_n s^n (mod 2)$
assurdo perchè $a_n s^n$ è dispari.
Analogamente, se $s$ è pari, e quindi $r$ è dispari, è
$0\equiv a_n s^n + a_{n-1} r s^{n-1} + \cdots +a_1 r^{n-1} s + a_0 r^n\equiv a_0 r^n (mod 2)$
assurdo perchè $a_0 r^n$ è dispari.
Infine, se entrambe $r$ e $s$ sono dispari, allora
$0\equiv a_n s^n + a_{n-1} r s^{n-1} + \cdots +a_1 r^{n-1} s + a_0 r^n\equiv f(1) (mod 2)$
ed è ancora assurdo perchè $f(1)$ è dispari.
Per l'altro problema, l'avevo già postato io, vedi
http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=8784
$0=f(r/s)=1/s^n(a_n s^n + a_{n-1} r s^{n-1} + \cdots +a_1 r^{n-1} s + a_0 r_n)$, ossia
$a_n s^n + a_{n-1} r s^{n-1} + \cdots +a_1 r^{n-1} s + a_0 r^n=0$
Se $r$ è pari necessariamente $s$ è dispari, quindi
$0\equiv a_n s^n + a_{n-1} r s^{n-1} + \cdots +a_1 r^{n-1} s + a_0 r^n\equiv a_n s^n (mod 2)$
assurdo perchè $a_n s^n$ è dispari.
Analogamente, se $s$ è pari, e quindi $r$ è dispari, è
$0\equiv a_n s^n + a_{n-1} r s^{n-1} + \cdots +a_1 r^{n-1} s + a_0 r^n\equiv a_0 r^n (mod 2)$
assurdo perchè $a_0 r^n$ è dispari.
Infine, se entrambe $r$ e $s$ sono dispari, allora
$0\equiv a_n s^n + a_{n-1} r s^{n-1} + \cdots +a_1 r^{n-1} s + a_0 r^n\equiv f(1) (mod 2)$
ed è ancora assurdo perchè $f(1)$ è dispari.
Per l'altro problema, l'avevo già postato io, vedi
http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=8784
ok ficus.
Siano $p$ e $q$ due primi dispari consecutivi. Si dimostri che la fattorizzazione di $p+q$ ha almeno tre primi (non necessariamente distinti).
Siano $p$ e $q$ due primi dispari consecutivi. Si dimostri che la fattorizzazione di $p+q$ ha almeno tre primi (non necessariamente distinti).
La somma $p+q$ è pari, quindi $p+q=2a$. Inoltre essendo $p$ e $q$ primi consecutivi, ed essendo $a$ la loro media aritmetica (è quindi compresa tra $p$ e $q$), ne segue che $a$ è un numero composto, per cui $a=nm$ quindi $p+q=2nm$
Bravo!
Grazie 
Però era semplice.... 
Appunto ti ho ringraziato 
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