Proprieta' della parabola

[Sk_Anonymous]

Rimanendo in tema di coniche ,risolvete questo.
Sia $gamma$ la parabola di direttrice f e fuoco F
ed A un suo punto generico.
Dette D la proiezione ortogonale di A su f ed
AB l'altezza del triangolo ADF,dimostrare che:
a)la retta AB e' la tangente in A a $gamma$
b)il punto B appartiene alla tangente a $gamma $ nel suo vertice O.
Ovviamente i quesiti si possono risolvere per via analitica ma
sarebbe istruttivo trovarne una soluzione puramente geometrica
( vale a dire basata sulla sola definizione di parabola).
karl

[Aethelmyth]

a) Il punto A è per definizione equidistante da F e da D (una parabola è l'insieme dei punti equidistanti da una retta detta direttrice e un punto detto fuoco), ergo AD=AF. Ora la retta AB equivale all'asse del segmento DF, il quale perciò tange $y$ nel solo punto A. (forse dovrei specificare meglio perchè la tangente equivale all'asse di DF, ma sinceramente credo di non esserne capace )
b) essendo il vertice O il punto medio tra il fuoco e la sua proiezione sulla direttrice, la tangente alla parabola in O sarà una retta parallela ad $f$ che intersecherà ogni punto medio tra i segmenti formati da F e un punto a caso appartenente ad $f$. (spero di non dover dare spiegazioni più precise anche qua)

[Sk_Anonymous]

Per il secondo punto piu' o meno ci siamo.
Per il primo effettivamente non e' chiaro perche '
l'asse sia anche la tangente.A cio' si puo arrivare
mostrando che nessun altro punto di AB,oltre A,
appartiene alla parabola e puo' essere fatto
proprio sfruttando la definizione di parabola .
karl

[Aethelmyth]

Beh dato che ogni punto dell'asse AB è equidistande da F e da D e che D appartiene a $f$, gli altri punti diversi da A appartenenti alla parabola saranno equidistanti da F e un punto diverso da D della direttrice $f$. Però così potrebbe essere secante la retta AB... o no?

[Sk_Anonymous]

[Ho disegnato solo l'altezza e non anche la parabola]
In un certo senso e' come dici te.Per maggiore chiarezza riporto
anche questa soluzione:
Se esistesse sull'altezza un altro punto P della parabola si avrebbe (vedi figura)
PQ=PF (essendo PQ la distanza di P dalla direttice f)
Ma dal triangolo rettangolo PQD si ha PQ e quindi A e' l'unico punto che la parabola e l'altezza hanno in
comune.Pertanto tale altezza e' la tangente in A alla parabola.
karl