Progressioni

[axpgn]

Tre numeri sono in progressione aritmetica, altri tre sono in progressione geometrica.
Sommando i termini corrispondenti delle due progressioni otteniamo la terna (ordinata) $85, 76, 84$ e sommando i tre termini della progressione aritmetica otteniamo $126$.

Determinare i termini di entrambe le progressioni.



Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Probabilmente c'è una condizione che mi sfugge perché sono indeciso tra queste due possibili scelte:
Denoto con \(a_1,a_2,a_3 \) i termini della progressione aritmetica e con \(b_1,b_2,b_3 \) i termini della progressione geometrica
Scelta 1:
\( a_1= 17, a_2=42,a_3=67 \) e \(b_1=68 , b_2=34, b_3=17 \)
Scelta 2:
\( a_1= 68, a_2=42,a_3=16 \) e \(b_1=17 , b_2=34, b_3=68 \)

[gio73]

17;42;67
68;34;17

[axpgn]

a entrambi.

@3m0o

Non ti sfugge niente, ci sono due soluzioni. Come lo hai risolto?

@gio73

C'è anche un'altra soluzione.

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Beh... dato \( a_1 \) e \( b_1 \) e chiamati, rispettivamente, \(d \) e \(r\) le ragioni delle due progressioni abbiamo che \( a_2=a_1 + d \) e \(b_2=r b_1 \) e \( a_3=a_2 + d = a_1 + 2d \) e \(b_3=r b_2 = r^2 b_1 \).
Da cui segue immediatamente che \[ a_1 + a_2 + a_3 = 3(a_1+d)=3a_2=126 \Leftrightarrow a_2 = 42 \]
e troviamo dunque \( b_2 = 34 \) usando la condizione che \( a_2 + b_2 = 76 \).
Se troviamo le ragioni \(d\) e \(r\) determiniamo con facilità tutti gli altri. Quindi ci prefissiamo questo obiettivo, conoscendo \(a_2 \) e \(b_2 \) riscriviamo dunque \(a_1=a_2 - d \), \(b_1 = \frac{b_2}{r} \) e otteniamo un facile sistemino
\[ \left\{\begin{matrix}
42-d+\frac{34}{r}&= &85 \\
42+d + 34 r&=&84
\end{matrix}\right. \]
da (2) otteniamo \( d= 42-34r \) da cui
\[ 34r + \frac{34}{r}= 85 \]
possiede come soluzioni \( r_1 = 1/2 \) e \( r_2= 2 \) e pertanto \( d_1 = 25 \) e \(d_2=-26 \) da cui le due soluzioni.

La frase "determinare i termini di entrambe le progressioni." l'ho interpretata come se la soluzione fosse unica, quindi stavo cercando di capire da cosa potessi decidere cosa escludere e cosa tenere tra \(r_1 \) e \(r_2 \). Ma evidentemente ho frainteso