Prodotto infinito (facile)

[carlo232]

è carino questo teorema

$prod_(n=0)^infty (1+x^(2^n))=1/(1-x)$

qualcuno lo sa dimostrare? (non è difficile io l'ho dimostrato in un supermercato...)

[Giusepperoma2]

non ho il programma per leggere le formule... quindi forse capisco male il testo... ma per quello che leggo mi sembra sbagliato

se x=2 la formula dice che

il prodotto infinito di

1+2^(2^n)=-1 !!!!!

leggo male io o c'e' un errore di battitura?

grazie!

[carlo232]

"Giusepperoma":non ho il programma per leggere le formule... quindi forse capisco male il testo... ma per quello che leggo mi sembra sbagliato

se x=2 la formula dice che

il prodotto infinito di

1+2^(2^n)=-1 !!!!!

leggo male io o ch'e' un errore di battitura?

grazie!

ho dimenticato di scrivere $forall |x|<1$

[Giusepperoma2]

scusa Carlo,

non e' che ti si scordato anche una x a numeratore...

A me il prodotto viene

x/(1-x)

ciao

[eafkuor1]

$prod_(n=0)^infty (1+x^(2^n))=1/(1-x)$

si vede facilmente che in generale

$(1-x^(2^i))prod_(n=i)^infty (1+x^(2^n))=1$

da cui segue che

$prod_(n=i)^infty (1+x^(2^n))-(x^(2^i))prod_(n=i)^infty (1+x^(2^n))=1$

a questo punto rimango un po' perplesso, infatti sia

$prod_(n=i)^infty (1+x^(2^n))$ che $(x^(2^i))prod_(n=i)^infty (1+x^(2^n))$ non dovrebbero valere infinito? insomma, sono il prodotto di infiniti termini maggiori di 1 o no? e come fa la loro differenza ad essere 1? i misteri della matematica...

[eafkuor1]

ops mentre scrivevo la risposta avete postato voi

EDIT: ma come si fa a calcolare un prodotto infinito?

[carlo232]

"Giusepperoma":scusa Carlo,

non e' che ti si scordato anche una x a numeratore...

A me il prodotto viene

x/(1-x)

ciao

consideriamo il prodotto parziale

$P(k)=prod_(n=0)^k (1+x^(2^n))$

si ha che

$P(0)=1+x$

$P(1)=1+x+x^2+x^3$

$P(2)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7$

è facile dimostrare (sapendo che ogni numero si scrive in modo unico come somma di potenze di 2) che si ha

$P(infty)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+...$

e l'ultima è la serie geometrica uguale a $1/(1-x)$

[carlo232]

"eafkuor":ops mentre scrivevo la risposta avete postato voi

EDIT: ma come si fa a calcolare un prodotto infinito?

se tu hai un prodotto infinito nella forma

$prod_(n=0)^infty a_n$

dove $(a_n)_n$ è una successione di numeri qualsiasi, dalle proprietà del logaritmo trovi che

$prod_(n=0)^infty a_n=e^(sum_(n=0)^infty lna_n)$

cioè perchè il prodotto converga deve convergere anche

$sum_(n=0)^infty ln(a_n)$

con sto metodo vedi che se $|x|<1$ allora il prodotto che avevo scritto converge

[Giusepperoma2]

Ho fatto esattamente cosi', ma a meno che la memoria non mi inganni la sommatoria fa

x/(1-x)

[carlo232]

"Giusepperoma":Ho fatto esattamente cosi', ma a meno che la memoria non mi inganni la sommatoria fa

x/(1-x)

La memoria a volte inganna, tu hai

$f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...$$|x|<1$

allora moltiplichi tutto per $1-x$ è ottieni

$(1-x)f(x)=1+(x-x)+(x^2-x^2)+(x^3-x^3)+(x^4-x^4)+...=1$

quindi

$f(x)=1/(1-x)$

[Giusepperoma2]

giusto...

eheheh

ero talmente sicuro di ricordarla bene che non mi sono preso il disturbo di calcolarla....

mentre tu postavi ho controllato e...

ovviamente avevo sbagliato io!

che imperdonabile errore....

[carlo232]

"Giusepperoma":giusto...

eheheh

ero talmente sicuro di ricordarla bene che non mi sono preso il disturbo di calcolarla....

mentre tu postavi ho controllato e...

ovviamente avevo sbagliato io!

che imperdonabile errore....

Ma su non importa, comunque io modestamente pensavo che sto problema non fosse molto difficile.

[Giusepperoma2]

no, infatti l'avevo impostato e risolto, ma mi ricordavo male quella formula... tutto qui!

[eafkuor1]

niente