Problemino massimo comune divisore.

[Kashaman]

Sia $ZZ$ l'insieme dei numeri interi.
E siano $a=n^3+n+1$
$b=n+1$.
due numeri interi tali che $n in ZZ$.
Dimostrare che $AA n in NN $ il $g.c.d(n^3+n+1 , n+1)=1$.
Dimostrare inoltre che $n^3+n+1$ non è mai pari.
Per via diretta si nota che , al variare di $n in NN$ , $a=n^3+n+1$ gode di una certa proprietà, quale?

buon divertimento

[FreddyKruger]

Supponiamo di avere un $a$ tale che $a|(n+1)$, in tal caso possiamo affermare che,per dividere $n^3+n+1$, a deve per forza dividere $n^3$, di conseguenza $a|n$ ,ma $a$ non può dividere contemporaneamente $n$ ed $n+1$ a meno che $a=1$,quindi per forza $a=1$.
$n^3+n$ è sempre pari,comunque sia $n$,per cui,se gli si aggiunge 1 tornerà ad essere dispari,perciò $n^3+n+1$ non è mai pari.
per la proprietà al variare di $n$ , ci penso un po'...

[Kashaman]

mi sembra vada bene .
Pensaci, è interessante. Prova un po per $1<=n<=10$

[xXStephXx]

E' una cosa davvero incredibilmente meravigliosa di quelle che ti lasciano con "chi l'avrebbe mai detto ?!!? OMG"? Oppure è una cosa che si vede facilmente? Riguarda la divisibilità? Oppure qualche altra curiosità tipo una successione particolarmente bella?

[Kashaman]

per $n=1 => n^3+n+1=3$
$n=2 => n^3+n+1=11$
$n=3 => n^3+n+1 =31$
fino ad un certo $n$ , si ottengono primi.

[xXStephXx]

69 non è primo.

[Kashaman]

bene allora non ha niente di interessante.
Che mbecille , $69=3*23$