Problemino

[An0nym0us1]

Dimostrare che se $4^(n)$ ha la cifra delle decine pari, $4^(n+1)$ ha la cifra delle decine dispari.

Io l'ho fatto col resto

[milizia96]

Sbaglio o $4^0$ e $4^1$ hanno entrambi cifra delle decine pari (uguale a zero)?

[An0nym0us1]

Vero, c'era anche $n>0$ che l'ho omesso.

[orazioster]

Per induzione:
$m>=0$

Ora, noto che le cifre delle unità sono: 4 per $4^(2m+1)$ , 6 per $4^(2m+2)$ .
Cosicchè ho un riporto di $1$ quando passo da una potenza pari alla successiva dispari, e di 2 quando
da una dispari alla successiva pari.

Per $4^1$ la cifra
delle decine è $0$ ed è pari.

Siccome 4 moltiplicato per il numero delle decine mi dà sempre un pari, ecco
che, con il riporto, la cifra delle decine sarà dispari per $n=2m+2$, e pari per $n=2m+2$.

[An0nym0us1]

Ok, ora metto la soluzione che avevo trovato.

Dividendo un numero del tipo $4^n$ con $n>0$ per $20$, ottengo un resto di $4$ o $16$ che si alternano nella successione delle potenze di $4$.
Quindi il numero $4^n$ può essere scritto anche nella forma $20*m + r$ dove $m$ è il quoziente della divisione della potenza del 4 per $20$ ed $r$ è il resto della divisione.
Io so che tutti i multipli di $20$ hanno la cifra delle decine pari. A questo prodotto sommo $4$ o $16$ a seconda che l'esponente sia rispettivamente dispari o pari. Nel caso in cui l'esponente è dispari sommo $4$ è quindi la cifra delle decine rimane inviariata pertanto rimane pari, mentre se l'esponente è pari sommo $16$ e quindi la cifra delle decine aumenta di $1$ diventando dispari.