Problemi di numeri primi e quadrati perfetti

[Dhindhimathai]

Mi è capitato molte volte di partecipare a concorsi matematici e spesso ho trovato problemi per me molto difficili. Tutti questi avevano la solita impostazione di base: data un'espressione letterale in a e b o in m e n (con a,b,m e n INTERI) , mi chiedevano di dimostrare ke tale espressione era o un numero primo o un quadrato perfetto o un intero o un numero irrazionale o un multiplo di un numero dat.

Avete un metodo per risolvere tali problemi...? In base alle conoscenze di 5a Liceo?

Per esempio, vi do questi due quesiti:

1) Dato un numero $ n $ intero dimostrare che $ sqrt(n-1) $ è un numero irrazionale (con $ n geq 1 $ )

2) Dati $ x, y, z $ interi non negativi, dimostrare che $ 4^x + 4^y + 4^z $ è un quadrato perfetto per infinite terne $ x, y, z $

GRAZIE MILLE IN ANTICIPO... Qualsiasi aiuto anche il più piccolo è gradito... GRAZIE!

[adaBTTLS1]

il primo quesito, detto così, ovviamente è falso: allora non esisterebbero quadrati perfetti!

il secondo si può dimostrare con una piccola manipolazione algebrica: si prendano due numeri interi positivi $x,z$ che non siano della stessa parità.
basta che siano uno pari ed uno dispari, possono essere per il resto totalmente arbitrari. allora basta prendere $y=(x+z+1)/2$ ed il gioco è fatto.

[Dhindhimathai]

Scusami... come hai fatto a trovare la soluzione del secondo? Mi potrasti spiegare i passaggi logici???

Ti posso chiedere di aiutarmi con un'altro problema?

- Determinare tutte le coppie $m$ $n$ di interi positivi per cui $ root(60)(m^(n^5 - n)) $ risulta un'intero...

Grazie mille....

[adaBTTLS1]

prego.

ho scritto 4 come il quadrato di 2 e un termine (ad esempio quello medio) ho cercato di scriverlo come doppio prodotto:

$2^(2x)+2*2^(2y-1)+2^(2z)=(2^x)^2+2*2^(2y-1)+(2^z)^2$
se impongo che il secondo termine sia il doppio prodotto delle basi dei quadrati degli altri due: $2^(2y-1)=2^x*2^z=2^(x+z)$
ricavo $2y-1=x+z$ e il testo in questo caso diventa $(2^x+2^z)^2$

per l'esercizio nuovo, deve risultare $m=1$ per qualunque valore di $n$ oppure $n^5-n$ multiplo di $60$
se scomponi ottieni $n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ multiplo di $60=2^2*3*5$
se n è pari, gli altri tre sono dispari, dunque deve essere n multiplo di 4, altrimenti,
se n è dispari gli altri tre sono pari, per cui il numero è multiplo di 4;
(n-1), n, (n+1) sono interi consecutivi, quindi uno dei tre è multiplo di 3;
per quanto riguarda la divisibilità per 5:
se $n-=0,1,4(mod5)$, è multiplo di 5 $n(n-1)(n+1)$, altrimenti,
se $n-=2,3(mod5)$, è multiplo di 5 $(n^2+1)$

quindi non è intero solo se $m>1, n-=2(mod4)$