Problemi di Natale

[giuseppe87x]

Propongo per voi alcuni problemi da risolvere in queste vacanze.

1) Data la funzione $f(x)=sin(x)arctan(x)$ calcolare le derivate di ordine 16 e 17 nel punto x=0.
2) Calcolare $int_(0)^(+infty)e^(-x^2)cos(tx)dx$ dove $t$ è un parametro reale.
3) Studiare la serie $sum_(n=1)^(infty)(sin(n))/n$ e in caso di convergenza calcolarne la somma.

[Eredir]

1) Riscrivo la funzione utilizzando le serie di Taylor: $f(x)=\sum_(n=0)^(\infty)((-1)^n)/((2n+1)!)x^(2n+1)*\sum_(m=0)^(\infty)((-1)^m)/(2m+1)x^(2m+1)$.

Calcolando la derivata di ordine $n$ i termini di grado $kn$ si annullano perchè calcolati in in $x=0$. In definitiva dobbiamo considerare solo i termini di grado $n$.

Quando $n=17$ si ha $f^((17))(x)|_(x=0)=0$, poichè i termini del prodotto delle due serie sono di grado pari.

Bisogna allora scrivere i termini di ordine 16. Per fare questo dobbiamo considerare le coppie $(a,b)$ con $a,b\in\NN$ e dispari tali che $a+b=16$. Esse sono $(1,15),(3,13),(5,11),(7,9),(9,7),(11,5),(13,3),(15,1)$.

Questi termini sono del tipo $-(x^16)/(a!*b)$, dove i valori di $a$ e $b$ sono quelli delle coppie sopra. Dalla derivazione di ordine 16 segue che i termini da sommare sono del tipo $-(16!)/(a!*b)$.

Dunque il risultato è $-16!*sum_(n=0)^(7)1/((2n+1)!(15-2n)$, che calcolato numericamente non è troppo piacevole da vedersi.

[giuseppe87x]

Bene Eredir.
Avanti con gli altri; magari utilizzate lo spoiler per dare la possibilità a tutti di cimentarsi..