Problemi della Normale di Fisica e Matematica
Sto risolvendo i problemi di mat e fisica della normale dal 1960 ad oggi.
Per essere più sicuro, vorrei confrontare i miei risultati con i vostri e magari scoprire risoluzioni più immediate e sintetiche.
Vi ringrazio tutti per la disponibilità. Fatevi sentire, ciaoooooooooo
Per essere più sicuro, vorrei confrontare i miei risultati con i vostri e magari scoprire risoluzioni più immediate e sintetiche.
Vi ringrazio tutti per la disponibilità. Fatevi sentire, ciaoooooooooo
Risposte
e beh i problemi dove sono? 
1) In un cerchio dato, il cui raggio è misurato da r, determinare un triangolo che abbia un vertice nel centro del cerchio e gli altri due A e B sulla circonferenza in modo che la somma della base AB e della relativa altezza sia uguale ad a supponendo a<2r
2)Trovare le soluzioni di: sqrt(x/(x-1))+sqrt(x)<1
3)E' più facile, gettando una volta un dado, ottenere 6, oppure, gettandolo 3 volte, ottenere tutte e tre le volte un numero pari? Perchè?
2)Trovare le soluzioni di: sqrt(x/(x-1))+sqrt(x)<1
3)E' più facile, gettando una volta un dado, ottenere 6, oppure, gettandolo 3 volte, ottenere tutte e tre le volte un numero pari? Perchè?
La probabilità di ottenere una volta $6$ è $\frac{1}{6}$, la probabilità di ottenere numeri pari per $3$ lanci è $\frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
"oli89":
2)Trovare le soluzioni di: sqrt(x/(x-1))+sqrt(x)<1
A occhio direi che non è mai verificata.
"Tipper":
[quote="oli89"]2)Trovare le soluzioni di: sqrt(x/(x-1))+sqrt(x)<1
A occhio direi che non è mai verificata.[/quote]
Il tuo occhio ha ragione
. Le condizioni di esistenza delle radici impongono che sia $x>1$ quindi la seconda radice è certamente maggiore di $1$ e la prima aggiunge una quantità positiva per cui la loro somma non sarà mai minore di $1$.
bene per il dado la soluzione è giusta, ma per la disuguaglianza esiste una sola soluzione in R: x=0.
Provate a risolvere quello di geometria e poi vi propongo altri problemi
Provate a risolvere quello di geometria e poi vi propongo altri problemi
"oli89":
bene per il dado la soluzione è giusta, ma per la disuguaglianza esiste una sola soluzione in R: x=0.
È vero!
Sono stato troppo frettoloso!!! 
Le condizioni di esistenza esatte sono $x>1$ o $x=0$...dannazione!!!
alfa =arccos(a/3r)
io ho trovato invece un intervallo di alfa (angolo al vertice del triangolo isoscele) compreso fra 0 e 4arctg(1/3)
anche io avevo cominciato a farli...
questi li avevo già risolti...
questi li avevo già risolti...
hei angus89 quale soluzione hai per il problema di geometria?
Qual è il più grande intero N tale che n^5-5n^3+4n
sia divisibile per N qualunque sia l'intero n?
sia divisibile per N qualunque sia l'intero n?
E' $6$, basta decomporre. Comunque questi più vecchi sono piuttosto semplici, ti consiglio di fare quelli più recenti.
Le soluzioni postatele con tutto il procedimento xo, altrimenti non serve a niente 
.
1) Considerato che un triangolo di quel tipo è isoscele e ha due lati pari al raggio, la somma tra base AB e altezza relativa è pari a $rcos(alpha)+2rsen(alpha)$ con $alpha$=metà angolo al vertice. Quindi abbiamo la disequazione $rcos(alpha)+2rsen(alpha)<2r$. Eq.ne associata: $cos(alpha)+2sen(alpha)=2$;
$cos(alpha)=x$
$sen(alpha)=y$
sistemino:
$x+2y=2$
$x^2+y^2=1$
con un po' di conti dovrebbe venire $0
Non ho capito come giuseppe ha risolto l'ultimo
[Edit: Corretto
]
.1) Considerato che un triangolo di quel tipo è isoscele e ha due lati pari al raggio, la somma tra base AB e altezza relativa è pari a $rcos(alpha)+2rsen(alpha)$ con $alpha$=metà angolo al vertice. Quindi abbiamo la disequazione $rcos(alpha)+2rsen(alpha)<2r$. Eq.ne associata: $cos(alpha)+2sen(alpha)=2$;
$cos(alpha)=x$
$sen(alpha)=y$
sistemino:
$x+2y=2$
$x^2+y^2=1$
con un po' di conti dovrebbe venire $0
Non ho capito come giuseppe ha risolto l'ultimo
[Edit: Corretto
]
"Aethelmyth":
Non ho capito come giuseppe ha risolto l'ultimo
Riguardo all'ultimo quiz, in effetti, penso
che Giuseppe abbia sbagliato a digitare.
Il numero indicato da Oli89 può essere
riscritto così, Aethelmyth:
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2).
Con la calcolatrice ho determinato i valori
più piccoli al variare di n e così ho visto
che 120 = 3[size=75]x[/size]5[size=75]x[/size]8 è un divisore ricorrente.
Qualche mirata (semplice) manipolazione
algebrica mi ha permesso di trovare la forma
che ti ho appena riportato.
Le considerazioni che seguono sono molto
più semplici, veloci da pensare che da scrivere.
Questo prodotto è sempre divisibile per 3.
Se n=3h, gli altri termini sono primi con 3,
quindi l'espressione data non sempre è divisibile
per una potenza di 3 maggiore della base,
al variare di n.
Esso, inoltre, è sempre divisibile per 5.
Anche in questo caso, come sopra, si
deduce che non sempre il prodotto è
divisibile per potenze di 5 maggiori della
base.
Infine, la nostra espressione è sempre
divisibile per 8, visto che nel prodotto
compaiono senz'altro almeno due numeri
pari consecutivi, e però non sempre essa è
divisibile per 16, 32 etc.
Non esiste un numero primo maggiore di 5
per il quale il prodotto sia sempre divisibile
al variare di n.
Infatti, detto p>5 uno dei rimanenti (infiniti)
numeri primi, fra p e 2p esistono p-1 numeri
interi consecutivi primi con p: quindi posso
sempre trovare fra essi cinque numeri interi
consecutivi il cui prodotto sia primo con p.
Ciao
[size=75]Edit: migliorata l'ultima parte.[/size]
Aethelmyth, la mia soluzione è la stessa della tua!!!Perfetto
Si ho sbagliato, volevo scrivere 5!
"Bruno":
[quote="Aethelmyth"] Non ho capito come giuseppe ha risolto l'ultimo
Riguardo all'ultimo quiz, in effetti, penso
che Giuseppe abbia sbagliato a digitare.
Il numero indicato da Oli89 può essere
riscritto così, Aethelmyth:
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2).
Con la calcolatrice ho determinato i valori
più piccoli al variare di n e così ho visto
che 120 = 3[size=75]x[/size]5[size=75]x[/size]8 è un divisore ricorrente.
Qualche mirata (semplice) manipolazione
algebrica mi ha permesso di trovare la forma
che ti ho appena riportato.
Le considerazioni che seguono sono molto
più semplici, veloci da pensare che da scrivere.
Questo prodotto è sempre divisibile per 3.
Se n=3h, gli altri termini sono primi con 3,
quindi l'espressione data non sempre è divisibile
per una potenza di 3 maggiore della base,
al variare di n.
Esso, inoltre, è sempre divisibile per 5.
Anche in questo caso, come sopra, si
deduce che non sempre il prodotto è
divisibile per potenze di 5 maggiori della
base.
Infine, la nostra espressione è sempre
divisibile per 8, visto che nel prodotto
compaiono senz'altro almeno due numeri
pari consecutivi, e però non sempre essa è
divisibile per 16, 32 etc.
Non esiste un numero primo maggiore di 5
per il quale il prodotto sia sempre divisibile
al variare di n.
Infatti, detto p>5 uno dei rimanenti (infiniti)
numeri primi, fra p e 2p esistono p-1 numeri
interi consecutivi primi con p: quindi posso
sempre trovare fra essi cinque numeri interi
consecutivi il cui prodotto sia primo con p.
Ciao
[size=75]Edit: migliorata l'ultima parte.[/size][/quote]
Credo di aver capito ma nn sono sicuro... il più grande N è 120 giusto? Un polinomio della forma $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$, ossia il prodotto di cinque interi consecutivi, è palesemente sempre divisibile per 2, 3, 4 e 5 (quindi $3*2^3*5=120$).
Con l'ultima parte del tuo discorso intendi che non ci sono divisori certi maggiori di 5, giusto?
Mi intrometto io . Gli unici divisori certi sono 2,3,4,5, sì. E chiaramente non ci sono divisori certi per $p>5$, dato che si tratta di 5 numeri consecutivi.
. Gli unici divisori certi sono 2,3,4,5, sì. E chiaramente non ci sono divisori certi per $p>5$, dato che si tratta di 5 numeri consecutivi.
"Aethelmyth":
Credo di aver capito ma nn sono sicuro... il più grande N è 120 giusto? Un polinomio della forma $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$, ossia il prodotto di cinque interi consecutivi, è palesemente sempre divisibile per 2, 3, 4 e 5 (quindi $3*2^3*5=120$).
Con l'ultima parte del tuo discorso intendi che non ci sono divisori certi maggiori di 5, giusto?
Sì, è così.
Al posto di palesemente ho preferito dare qualche
spiegazione.
Nell'ultima parte, in effetti, ho cercato di giustificare
che per qualunque numero primo maggiore o uguale
a 7 esiste almeno un prodotto di cinque numeri interi
consecutivi (ma in realtà, chiaramente, ce ne sono
infiniti!) non divisibili per quel numero primo.
Come dice TomSawyer (di cui ho appena visto il post,
dopo aver inviato questo) la cosa è chiara ma non
guasta spiegarla, soprattutto per chi può avere meno
dimestichezza con questi argomenti (Aethelmyth escluso,
beninteso
).
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