Problema...normale
sotto consiglio di fields, posto qui un problema di quelli che hanno dato per il concorso di accesso alla Scuola Normale Superiore di Pisa...
Una palla si trova su un biliardo in posizione P.Provare che esiste almeno una direzione secondo cui si può lanciare la palla in modo che essa non ripassi mai per la posizione P.
Si consideri il biliardo privo di attrito e si supponga che il rimbalzo alle sponde obbedisca alla stessa legge di riflessione della luce.
Veramente un bel problema...ma con una soluzione ancora più bella
ciao
Una palla si trova su un biliardo in posizione P.Provare che esiste almeno una direzione secondo cui si può lanciare la palla in modo che essa non ripassi mai per la posizione P.
Si consideri il biliardo privo di attrito e si supponga che il rimbalzo alle sponde obbedisca alla stessa legge di riflessione della luce.
Veramente un bel problema...ma con una soluzione ancora più bella
ciao
Risposte
Questo sarebbe un problema per karl, che effettua sempre dei bellissimi disegni.
Ad ogni modo, io risolverei il problema così. Tracciamo un rettangolo ed un punto P interno. Vista dall'alto la palla da biliardo è un cerchio di raggio R. Tracciamo questo cerchio all'interno del rettangolo in modo che due lati adiacenti del rettangolo siano entrambi tangenti il cerchio. A questo punto colleghiamo il punto P al centro della circonferenza. Questa è la direzione che risolve il problema. Infatti, ragionando sulla legge di riflessione tramite disegno, si vede che la palla, dovendo toccare entrambe le pareti simultaneamente, verrà "riflessa" secondo 2 direzioni perfettamente opposte con la stessa velocità: dunque si blocca!
Avete mai visto, in una partita di basket, una palla che si incastra tra tabellone e canestro? Io, sì!!
Ad ogni modo, io risolverei il problema così. Tracciamo un rettangolo ed un punto P interno. Vista dall'alto la palla da biliardo è un cerchio di raggio R. Tracciamo questo cerchio all'interno del rettangolo in modo che due lati adiacenti del rettangolo siano entrambi tangenti il cerchio. A questo punto colleghiamo il punto P al centro della circonferenza. Questa è la direzione che risolve il problema. Infatti, ragionando sulla legge di riflessione tramite disegno, si vede che la palla, dovendo toccare entrambe le pareti simultaneamente, verrà "riflessa" secondo 2 direzioni perfettamente opposte con la stessa velocità: dunque si blocca!
Avete mai visto, in una partita di basket, una palla che si incastra tra tabellone e canestro? Io, sì!!
Ma lanciando la palla in quela direzione dal punto P, non dovrebbe tornare indietro lungo la stessa direzione (pssando quindi per P)?
"jack":
Ma lanciando la palla in quela direzione dal punto P, non dovrebbe tornare indietro lungo la stessa direzione (pssando quindi per P)?
Be', jack, in base al mio ragionamento la palla si blocca.
Comunque, dimenticavo di dire che, ovviamente, devi scegliere l'angolo in cui posizionare il cerchio in modo che, se la palla nella sua posizione iniziale tocca un lato, l'angolo deve essere formato da altri due lati.
un momento...forse non ho capito come hai trovato la direzione della palla...in sostanza mandandola verso uno degli spigoli dovrebbe bloccarsi?stando alla legge della riflessione, scomponendo la velocità della palla nelle due componenti parallele ai lati del biliardo, si ha che quando colpisci un vertice del rettangolo, ogni componente arriva perpendicolarmente a un lato del tavolo e quindi la componente riflessa avrà la stessa direzione d quella incidente, ma verso opposto, così la palla viaggerà nella stessa direzione di prima, ma in verso contrario...
"jack":
sotto consiglio di fields, posto qui un problema di quelli che hanno dato per il concorso di accesso alla Scuola Normale Superiore di Pisa...
Una palla si trova su un biliardo in posizione P.Provare che esiste almeno una direzione secondo cui si può lanciare la palla in modo che essa non ripassi mai per la posizione P.
Si consideri il biliardo privo di attrito e si supponga che il rimbalzo alle sponde obbedisca alla stessa legge di riflessione della luce.
Veramente un bel problema...ma con una soluzione ancora più bella
ciao
Tirare la palla in una delle sei buche? Spro non sia questa la soluzione...
no no, non è così banale...diciamo che siamo su un tavolo di biliardo all'italiana ma senza gli omini...
jack, io me la cavo bene in matematica pura, un po' meno in fisica. Se il quesito fosse di matematica pura, non avrei dubbi. Ma sono una schiappa in fisica!!
E direi anche che la mia soluzione sembra violare la conservazione dell'energia cinetica, aiutoooo!!!!
Meglio che aspetti qualcuno più competente di me
E direi anche che la mia soluzione sembra violare la conservazione dell'energia cinetica, aiutoooo!!!!
Meglio che aspetti qualcuno più competente di me
Credo che la palla possa esser considerata come un punto materiale...
"fields":
E direi anche che la mia soluzione sembra violare la conservazione dell'energia cinetica, aiutoooo!!!!
sarebbe un urto completamente anelastico, nessuna violazione. l'energia cinetica si trasformerebbe in calore.
comunque credo anch'io come cavalli che la palla debba esser considerata come un punto materiale.
appena ho letto il problema mi sono venute in mente le curve di Lissajous. d'istinto lavorerei sul fatto che (chiamiamo a e b i lati del biliardo) la palla colpirà diversi punti a1 a2 a3... su a e b1, b2, b3... su b. se le distanze a1-a2 e b1-b2 hanno tra di loro un rapporto razionale di primo acchito direi che la palla segue una traiettoria chiusa (e quindi si ritorna in P), se irrazionale il contrario.
questa è solo una congettura comunque
bisognerebbe lavorarci sopra.
Il problema è che il quesito non è affatto di fisica, ma di geometria.
Hint: E' solo una questione di simmetrie....
"jack":
sotto consiglio di fields, posto qui un problema di quelli che hanno dato per il concorso di accesso alla Scuola Normale Superiore di Pisa...
Una palla si trova su un biliardo in posizione P.Provare che esiste almeno una direzione secondo cui si può lanciare la palla in modo che essa non ripassi mai per la posizione P.
Si consideri il biliardo privo di attrito e si supponga che il rimbalzo alle sponde obbedisca alla stessa legge di riflessione della luce.
Veramente un bel problema...ma con una soluzione ancora più bella
ciao
Guardiamo il tavolo da biliardo dall'alto sia l'angolo in basso a sinistra l'origine del classico sistema di riferimento cartesiano,
siano $x_0,y_0$ le coordinate iniziali della pallina, $v_x,v_y$ le componenti della velocità a cui viene lanciata, $L_x,Ly$ le lunghezze delle due sponde.
Abbiamo le seguenti formule, dopo un tempo $t$ le coordinate $X,Y$ della biglia saranno
se $tv_x div L_x$ è pari allora $X(t)=tv_x mod L_x$ altrimenti $X(t)=L_x - (tv_x mod L_x)$
se $tv_y div L_y$ è pari allora $Y(t)=tv_y mod L_y$ altrimenti $Y(t)=L_y - (tv_y mod L_y)$
perchè sia $X=x_0$ deve essere $tv_x=2kL_x+x_0$ o $tv_x=(2k+1)L_x + (L_x-x_0)$ con $k in ZZ$, analogamente perchè sia $Y=y_0$.
Non so se queste formule portano alla soluzione, facilmente si vece che se $x_0,y_0 in QQ$ allora basta scegliere $(v_x)/(v_y)$ irrazionale perchè non esista $t$ tale che sia $X(t)=x_0$ e $X(t)=y_0$...
Spero di aver scritto giusto i vari moduli
Ragazzi, beccatevi questa soluzione, e non dite che non sia meravigliosamente non costruttiva!
Scegliamo il sistema di coordinate per il biliardo in modo che il punto iniziale $P$ dove si trova la palla sia nell'origine. Indichiamo con $x_2$ e $x_1$ rispettivamente la distanza del punto $P$ dal bordo sinistro e dal bordo destro del biliardo. Analogamente, indichiamo con $y_2$ e $y_1$ rispettivamente la distanza del punto $P$ dal bordo inferiore e dal bordo superiore del biliardo.
Siano $v_x$ e $v_y$ le componenti orizzontali e verticali della velocità della palla (supponiamole positive). La prima volta che l'ascissa della palla ripassa per l'origine è il tempo $2x_1/v_x$, la seconda $2x_1/v_x+2x_2/ v_x$ la terza $2x_1/v_x+2x_2/ v_x+2x_1/v_x$ e così via.. Analogamente, la prima volta che l'ordinata della palla ripassa per l'origine è il tempo $2y_1/v_y$, la seconda $2y_1/v_y+2y_2/ v_y$ la terza $2y_1/v_y+2y_2/ v_y+2y_1/v_y$ e così via..
Quindi, il tempo $t$ al quale l'ascissa della palla ripassa per l'origine avrà la forma $1/v_x[2k(x_1+x_2)]$ o la forma $1/v_x[2k(x_1+x_2)+2x_1]$ , con $k$ naturale. Se indichiamo con $R_1$ l'insieme dei numeri della forma $[2k(x_1+x_2)]$, con $k$ naturale, e con $R_2$ l'insieme dei numeri della forma $[2k(x_1+x_2)+2x_1]$, con $k$ naturale, $t$ è della forma $1/v_xr_1$ o della forma $1/v_xr_2$, con $r_1\in R_1$ e $r_2\in R_2$.
Analogamente, il tempo $t$ al quale l'ordinata della palla ripassa per l'origine avrà la forma $1/v_y[2k(y_1+y_2)]$ o la forma $1/v_y[2k(y_1+y_2)+2y_1]$ . Se indichiamo con $S_1$ l'insieme dei numeri della forma $[2k(y_1+y_2)]$, con $k$ naturale, e con $S_2$ l'insieme dei numeri della forma $[2k(y_1+y_2)+2y_1]$, con $k$ naturale, $t$ è della forma $1/v_ys_1$ o della forma $1/v_ys_2$, con $s_1\in S_1$ e $s_2\in S_2$.
Supponiamo ora che la palla ripassi per il punto iniziale, l'origine, al tempo $t$. Allora $t= 1/v_xr_i$, con $r_i \in R_i$, e $t= 1/v_ys_j$, con $s_j \in S_j$. Dunque, $v_y/v_x=s_j/r_i$.
Ora il punto chiave del ragionamento. Osserviamo che gli insiemi $R_i$ e $S_j$ sono NUMERABILI, dunque l'insieme dei numeri della forma $s_j/r_i$ è NUMERABILE. Ma l'insieme dei numeri Reali è PIU' che NUMERABILE, dunque esiste un numero reale $C$ che NON è della forma $s_j/r_i$. Scegliamo allora $v_y$ e $v_x$ in modo che $v_y/v_x=C$. Dunque, la palla non può mai ripassare per l'origine!
Scegliamo il sistema di coordinate per il biliardo in modo che il punto iniziale $P$ dove si trova la palla sia nell'origine. Indichiamo con $x_2$ e $x_1$ rispettivamente la distanza del punto $P$ dal bordo sinistro e dal bordo destro del biliardo. Analogamente, indichiamo con $y_2$ e $y_1$ rispettivamente la distanza del punto $P$ dal bordo inferiore e dal bordo superiore del biliardo.
Siano $v_x$ e $v_y$ le componenti orizzontali e verticali della velocità della palla (supponiamole positive). La prima volta che l'ascissa della palla ripassa per l'origine è il tempo $2x_1/v_x$, la seconda $2x_1/v_x+2x_2/ v_x$ la terza $2x_1/v_x+2x_2/ v_x+2x_1/v_x$ e così via.. Analogamente, la prima volta che l'ordinata della palla ripassa per l'origine è il tempo $2y_1/v_y$, la seconda $2y_1/v_y+2y_2/ v_y$ la terza $2y_1/v_y+2y_2/ v_y+2y_1/v_y$ e così via..
Quindi, il tempo $t$ al quale l'ascissa della palla ripassa per l'origine avrà la forma $1/v_x[2k(x_1+x_2)]$ o la forma $1/v_x[2k(x_1+x_2)+2x_1]$ , con $k$ naturale. Se indichiamo con $R_1$ l'insieme dei numeri della forma $[2k(x_1+x_2)]$, con $k$ naturale, e con $R_2$ l'insieme dei numeri della forma $[2k(x_1+x_2)+2x_1]$, con $k$ naturale, $t$ è della forma $1/v_xr_1$ o della forma $1/v_xr_2$, con $r_1\in R_1$ e $r_2\in R_2$.
Analogamente, il tempo $t$ al quale l'ordinata della palla ripassa per l'origine avrà la forma $1/v_y[2k(y_1+y_2)]$ o la forma $1/v_y[2k(y_1+y_2)+2y_1]$ . Se indichiamo con $S_1$ l'insieme dei numeri della forma $[2k(y_1+y_2)]$, con $k$ naturale, e con $S_2$ l'insieme dei numeri della forma $[2k(y_1+y_2)+2y_1]$, con $k$ naturale, $t$ è della forma $1/v_ys_1$ o della forma $1/v_ys_2$, con $s_1\in S_1$ e $s_2\in S_2$.
Supponiamo ora che la palla ripassi per il punto iniziale, l'origine, al tempo $t$. Allora $t= 1/v_xr_i$, con $r_i \in R_i$, e $t= 1/v_ys_j$, con $s_j \in S_j$. Dunque, $v_y/v_x=s_j/r_i$.
Ora il punto chiave del ragionamento. Osserviamo che gli insiemi $R_i$ e $S_j$ sono NUMERABILI, dunque l'insieme dei numeri della forma $s_j/r_i$ è NUMERABILE. Ma l'insieme dei numeri Reali è PIU' che NUMERABILE, dunque esiste un numero reale $C$ che NON è della forma $s_j/r_i$. Scegliamo allora $v_y$ e $v_x$ in modo che $v_y/v_x=C$. Dunque, la palla non può mai ripassare per l'origine!
fields perchè gli insiemi $R_(i)$ e $S_(j)$ sono numerabili? Non sono formati anch'essi da numeri reali?
"giuseppe87x":
fields perchè gli insiemi $R_(i)$ e $S_(j)$ sono numerabili? Non sono formati anch'essi da numeri reali?
Si, sono formati da numeri reali, però è possibile mettere gli elementi di $R_i$ e $S_j$ in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, proprio per come sono definiti i gli insiemi $R_i$ e $S_j$. Deriva inoltre che è possibile mettere in corrispondenza biunivoca con in naturali tutti gli elementi della forma $s_j/r_i$. Ora, per il teorema di Cantor, sappiamo che non tutti i numeri reali sono della forma $s_j/r_i$, con $s_i\in S_j$ e $r_i\in R_j$, altrimenti esisterebbe una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e naturali.
...ne posto un altro appena fatto:
[classe 1987] Un punto x,y del piano cartesiano si dirà razionale se x e y sono numeri razionali.
Data una qualunque circonferenza del paino cartesiano avente centro razionale, si provi che se essa contiene un punto razionale, allora contiene infiniti punti razionali.
buon lavoro!
[classe 1987] Un punto x,y del piano cartesiano si dirà razionale se x e y sono numeri razionali.
Data una qualunque circonferenza del paino cartesiano avente centro razionale, si provi che se essa contiene un punto razionale, allora contiene infiniti punti razionali.
buon lavoro!
Io ho provato a fare in questo modo ma mi sono bloccato ad una equazione : l'equazione della circonferenza è (y-b)^2 + (x-a)^2 = r^2 dove a e b sono numeri razionali... si ricava y=b +- rad( r^2 - (x-a)^2) ... affinche y sia razionale anche la radice quadrata deve essere un numero razionale dato che b è razionale... posso scrivere a=m/n ( m e n sono numeri interi) , sostituisco ed ottengo sotto radice (n^2 r^2 - n^2 x^2 - m^2 + 2mnx) / n^2 ...il denominatore è il quadrato di un numero intero quindi a questo punto credo che bisogna mostrare che se esiste un x razionale tale che anche il numeratore sia il quadrato di un numero intero allora ne esistono infiniti appartenenti all'intervallo [a-r , a+r], però non so come fare 
E' proprio qui il bello ...
hint: non prendiamo proprio un centro QUALUNQUE...
...hint: non prendiamo proprio un centro QUALUNQUE...
No ho sbagliato , non deve essere il quadrato di un intero il numeratore , può essere anche il quadrato di un razionale... io sostituirei anche x = s/t , con s e t interi... (n^2 r^2 t^2 - n^2 s^2 - m^2 t^2 + 2mnst)/(n^2 t^2) è il nuovo termine sotto radice ... a questo punto ci sono due casi : r irrazionale ed r razionale... per ora non so più andare avanti
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