Problema Teorico

[Dhindhimathai]

Provare che per ogni numero $ n geq 2 $ si ha:

$ root(n)(n!) < (n+1)/2 $

e che $ (n+1)/2 $ non è mai un multiplo di $ root(n)(n!) $

Grazie mille in anticipo!!!

[_luca.barletta]

Già proposto qui e risolto nella prima richiesta.

Per la seconda richiesta: sia per assurdo che [tex]\sqrt[n]{n!}[/tex] divida [tex]\frac{n+1}{2}[/tex] cioé che
[tex]\frac{n+1}{2}=a\sqrt[n]{n!}[/tex], per un qualche [tex]a[/tex] intero. Allora si ha che
[tex](n+1)^n=(2a)^n n![/tex], e quindi deve essere che [tex]n![/tex] divida [tex](n+1)^n[/tex], ma questo è assurdo poiché
[tex]n[/tex] e [tex]n+1[/tex] sono coprimi.

[mod="LB"]Dai un titolo meno generico al thread.[/mod]

[gugo82]

@luca.barletta: Per l'assurdo non basterebbe notare che [tex]$n$[/tex] divide [tex]$(n+1)^n$[/tex] (cosa che si ricava da [tex]$(n+1)^n =(2a)^n(n-1)!\cdot n$[/tex])?
Metterci quel fattoriale non è proprio "minimale" come scelta.

[_luca.barletta]

"gugo82":@luca.barletta: Per l'assurdo non basterebbe notare che [tex]$n$[/tex] divide [tex]$(n+1)^n$[/tex] (cosa che si ricava da [tex]$(n+1)^n =(2a)^n(n-1)!\cdot n$[/tex])?
Metterci quel fattoriale non è proprio "minimale" come scelta.

Certo, intendevo proprio quello, saltando un po' di passaggi. D'altronde se, per assurdo, [tex]ab|c[/tex], allora deve essere che [tex]a|c[/tex] e [tex]b|c[/tex]; ma poiché [tex]a\not | c[/tex] allora assurdo. (Con [tex]a=n[/tex], [tex]b=(n-1)![/tex], e [tex]c=(n+1)^n[/tex])

[giammaria2]

Ho un dubbio, che forse potete chiarirmi.
Si parla di multipli solo per i numeri interi; a me però sembra che, a parte il caso $n=1$, $root(n)(n!)$ non sia mai intero: com'è possibile che il più grande fra i numeri primi fino ad $n$ sia ripetuto $n$ volte, in un prodotto di soli $n$ fattori?