Problema semplice oppure malefico.

[Settevoltesette]

Due treni si muovono su 2 binari distinti uno verso l'altro, il primo treno si muove a 15 km/h il secondo a 15 km/h distano uno dall'altro inizialmente 15 km.
Una rondine vola avanti e indietro tra un treno e l'altro a 25 km/h (parte dalla punta del primo treno, arriva alla punta del secondo e così via) fin quando i due treni non si incontrano. Quanto spazio percorre la rondine in totale?

P. S. Ho corretto la velocità dei treni e lo spazio tra i treni

[Drazen77]

12,5 km:
I due treni distano l'uno dall'altro 15 km ed entrambi viaggiano a 15 km/h, di conseguenza si incrociano esattamente a metà strada, dopo 30 min, quindi la rondine ha volato per mezz'ora.
Visto che la rondine vola a 25 km/h, in mezz'ora avrà percorso 12,5 km.

[Settevoltesette]

La risposta é giusta. Io personalmente ho percorso all'inizio una via contorta per risolverlo poi mi é saltato in mente il tuo procedimento

[otta96]

E se la rondine invece va a 10 all'ora?

[Drazen77]

È lo stesso discorso...
I due treni si incrociano dopo mezz'ora. E se la rondine vola a 10 km/h, dopo mezz'ora avrà percorso 5 km.

[axpgn]

E che è? Una rondine malata? Nun ce la fa

@Settevoltesette
È un classico (se cerchi nel forum troverai versioni con volatili diversi)
È il tipico esempio di problema apparentemente complicatissimo ma con soluzione semplice ed elegante.

Cordialmente, Alex

[@melia]

"otta96":E se la rondine invece va a 10 all'ora?

Il primo treno la stira e il problema non c'è più.

[otta96]

Esatto.

[dan952]

E se in ogni istante la velocità dei due treni è uguale alla distanza che li separa in quell' istante?

[Settevoltesette]

Un problema simile che credo tutti conoscono, con meno dati che possono portare a confusione é quello del cane che insegue una lepre posta inizialmente a distanza x dal cane e poste le velocità costanti.
Mi ricordo che fu il primo problema che provai a risolvere, inizialmente mi dicevo: il cane percorre x e la lepre però ha percorso x/2, quando il cane ha percorso x + x/2 la lepre ha percorso x/2 + x/4, non arriverò mai ad un risultato esatto! Poi dopo un po' la poca matematica che conoscevo mi ha permesso di risolverlo con l'idea di impostare un'equazione. É da allora che ho imparato ad impostare le equazioni per risolvere problemi di matematica, ed è da allora che conosco il paradosso di Zenone (cioè il ragionamento fila, ma non ti porta a risultato), quando poi ho studiato i limiti mi si é aperto un mondo

[Settevoltesette]

"dan95":E se in ogni istante la velocità dei due treni è uguale alla distanza che li separa in quell' istante?

Vediamo...

Considero un treno che parte da fermo e raggiunge la velocità finale v

La velocità deve essere proporzionale allo spazio percorso con fattore 1 allora si deve avere d''a/dt = da/dt cioè la funzione v(t) è la sua derivata deve essere uguale, allora deve essere e^t.

Allora t = ln(v) e la rondine si muove a 25 km/h = 25 * 1000/3600 m/s = 25/36 m/s

Quindi percorrerà (25/36)ln(v) metri

Ma c' è qualcosa che non quadra...

[Settevoltesette]

Ci riprovo...

La velocità é e^t se però considero che rallenta posso vederla come 1/e^t se considero che la rondine percorre tratti del tipo \(\displaystyle 2/e^t_i \) e che da un certo punto in poi i treni sono così lenti per cui la rondine percorre esattamente i tratti del tipo \(\displaystyle 2/e^t \) per ogni t minore di un certo indice.
Dato che la somma di \(\displaystyle 1/e^x (-oo, a) = +oo \) la rondine percorre uno spazio infinito!

Ho sbagliato di nuovo, l'intervallo in questo caso é (v, +oo) e il tutto converge.

[Settevoltesette]

"Settevoltesette":[quote="dan95"]E se in ogni istante la velocità dei due treni è uguale alla distanza che li separa in quell' istante?

[/quote]

Ma poi una risposta a questo quesito non é più venuta fuori... Secondo me ho fatto bene alla prima, c'è solo qualche complicanza con i sistemi di misura dato che l'argomento del logaritmo deve essere un numero puro, ma magari ho sbagliato tutto.

[andomito]

"Settevoltesette":

Ma c' è qualcosa che non quadra...

In effetti hai voluto esprimere tutto in metri al secondo (cosa non richiesta e che tra l'altro fatta perdendoti uno zero) invece di normalizzare tutto, introducendo costanti di integrazione in base alle condizioni imposte al contorno.
Se vuoi proprio accanirti con calcoli matematici fai pure, io la risolverei così.

Se i treni mantenessero la stessa velocità che hanno quando distano 15 km, si incontrerebbero dopo mezz'ora. Ma rallentano, quindi da quel momento per incontrarsi dovranno aspettare sicuramente più di mezz'ora.
Quando stanno a metà strada (e distano 7,5 km) la loro velocità sarà dimezzata, quindi, se mantenessero tale velocità, si incontrerebbero dopo mezz'ora. Ma rallentano, quindi da quel momento per incontrarsi dovranno aspettare sicuramente più di mezz'ora.
e così via... insomma, in qualunque punto stiano, gli mancherà sicuramente più di mezz'ora all'incrocio. Pertanto con quella legge oraria si incrocieranno dopo un tempo infinito.
Dunque la rondine volerà per un tempo infinito coprendo uno spazio infinito?
No.
E' una rondine, non un punto materiale.
Di certo tra dieci anni sarà morta, ma molto prima dovrà fermarsi, visto che le rondini volano solo di giorno. Quindi al massimo volerà circa 12 ore, ovvero 300 km.
Va poi considerato che ogni circa 4 ore la distanza tra i due treni si riduce di un fattore 1000.
Pertanto dopo 8 ore disteranno di circa 1,5 mm, cosa che consentirebbe alla rondine di appoggiare una zampa su ciascuno di essi (ipotizzando un unico binario, altrimenti nel problema manca il dato della distanza tra i binari), o addirittura di disturbare il loro moto, considerata la irrisoria quantità di moto residua. In ogni caso il giorno dopo la distanza sarebbe così piccola (a scala subatomica) da non poter essere percepita dalla rondine.
Tutto sommato direi che la rondine volerà per meno di 200 km.

Insomma, dal problema dei treni frenati manca un dato: che ore sono?

[axpgn]

@andomito

"andomito":Pertanto dopo 8 ore disteranno di circa 1,5 mm, cosa che consentirebbe alla rondine di appoggiare una zampa su ciascuno di essi (ipotizzando un unico binario, altrimenti nel problema manca il dato della distanza tra i binari), o addirittura di disturbare il loro moto, considerata la irrisoria quantità di moto residua. In ogni caso il giorno dopo la distanza sarebbe così piccola (a scala subatomica) da non poter essere percepita dalla rondine.

Carina questa

[gabriella127]

E' un problema che conoscevo, non con la rondine, con una mosca, ma fa lo stesso. Lo disse in aula un professore di analisi della Sapienza, dicendo: 'Qual è la differenza tra un matematico e un fisico'? Un matematico si imbarcherebbe in complicati calcoli di serie, etc., il fisico avrebbe dato la semplice soluzione che avete indicato.
Bassa stima dei matematici...