Problema Rózsa Péter
In un libro di Rózsa Péter ho trovato questo problemino:
Si abbia il seguente calcolo:
1-1+1-1+1-1+1-1..... all'infinito.
Che risultato otteniamo?
Da quello che dice il libro, se prendiamo i numeri e li accoppiamo all'infinito avremo:
(1-1)+(1-1)+(1-1).... e quindi, il calcolo risulta essere 0+0+0+0+0.... e quindi dare 0 come risultato.
Ma se prendiamo il primo 1 e lo lasciamo fuori e dal successivo in poi prendiamo i numeri a coppie avremo:
1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1).... avremo, quindi, 1+0+0+0+0+0... e quindi il risultato dà 1. Poi, il libro, relativamente a questo problema si ferma qua senza indicare come considerare in effetti il calcolo, se considerare il risultato indefinito, o accettare entrambe le soluzioni (che poi, secondo me diventano 3, visto che possiamo mettere fuori -1 dalla parentesi e sommare gli altri a coppie, visto che 1-1+1-1+1-1 si può anche scrivere -1+1-1+1-1+1 e quindi il risultato può dare anche -1)
Qualcuno sa dirmi come considerare il problema?
Grazie
Si abbia il seguente calcolo:
1-1+1-1+1-1+1-1..... all'infinito.
Che risultato otteniamo?
Da quello che dice il libro, se prendiamo i numeri e li accoppiamo all'infinito avremo:
(1-1)+(1-1)+(1-1).... e quindi, il calcolo risulta essere 0+0+0+0+0.... e quindi dare 0 come risultato.
Ma se prendiamo il primo 1 e lo lasciamo fuori e dal successivo in poi prendiamo i numeri a coppie avremo:
1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1).... avremo, quindi, 1+0+0+0+0+0... e quindi il risultato dà 1. Poi, il libro, relativamente a questo problema si ferma qua senza indicare come considerare in effetti il calcolo, se considerare il risultato indefinito, o accettare entrambe le soluzioni (che poi, secondo me diventano 3, visto che possiamo mettere fuori -1 dalla parentesi e sommare gli altri a coppie, visto che 1-1+1-1+1-1 si può anche scrivere -1+1-1+1-1+1 e quindi il risultato può dare anche -1)
Qualcuno sa dirmi come considerare il problema?
Grazie
Risposte
Ci sono migliardia di giochetti così che ti potrei fare.
Quando c'è di mezzo l'infinito, è facilissimo costruire degli esempi dove si dimostrano cose paradossali.
Esempio:
$1+2+4+8+16+32+...=1+1(1+2+4+8+16+...)$ e quindi semplificando $0=1$.
Guarda qua:
http://it.wikipedia.org/wiki/Paradossi_dell%27infinito
Quando c'è di mezzo l'infinito, è facilissimo costruire degli esempi dove si dimostrano cose paradossali.
Esempio:
$1+2+4+8+16+32+...=1+1(1+2+4+8+16+...)$ e quindi semplificando $0=1$.
Guarda qua:
http://it.wikipedia.org/wiki/Paradossi_dell%27infinito
Quindi? Significa che non è decidibile il risultato?
Non capisco l'esempio... da dove scaturisce 0=1? Non riesco a capire come semplificare l'operazione.
Non capisco l'esempio... da dove scaturisce 0=1? Non riesco a capire come semplificare l'operazione.
Ah, OK, ora ho capito, era una semplice equazione dove dividiamo primo e secondo membro per un numero infinito. Però, non è proprio la stessa cosa, nel tuo caso dividi per un numero infinito (che è lo stesso problema che si ha quando si divide per 0 e in un calcolo può risultare 1=2). Nel mio caso, però, è un semplice calcolo, che, magari, è considerato comunque indecidibile.
Quello che devi sapere è che quando ragioni con insiemi o numeri infiniti non ci sono le stesse regole che valgono per insiemi e numeri finiti.
Ad esempio i numeri pari sono tanti quanti i numeri interi. Sembra paradossale ma è così.
Ma se consideri l'insieme dei numeri da 1 a 100, la frase "i numeri pari in questo insieme sono tanti quanti i numeri interi" è ovviamente falsa.
Nel mio esempio io ho semplificato togliendo due quantità apparentemente uguali. Il fatto è che ho tolto infinito da ambo i membri, cosa che non si può fare.
Converrai che infinito+1=infinito ma mica puoi togliere infinito da entrambe le parti, no?
Nel tuo caso i termini che raggruppi sono finiti ma il numero di termini è infinito, e quindi rileggi la prima frase che ho scritto.
Ad esempio i numeri pari sono tanti quanti i numeri interi. Sembra paradossale ma è così.
Ma se consideri l'insieme dei numeri da 1 a 100, la frase "i numeri pari in questo insieme sono tanti quanti i numeri interi" è ovviamente falsa.
Nel mio esempio io ho semplificato togliendo due quantità apparentemente uguali. Il fatto è che ho tolto infinito da ambo i membri, cosa che non si può fare.
Converrai che infinito+1=infinito ma mica puoi togliere infinito da entrambe le parti, no?
Nel tuo caso i termini che raggruppi sono finiti ma il numero di termini è infinito, e quindi rileggi la prima frase che ho scritto.
Si, ma perchè, ad esempio se sommiamo 1+1/2+1/4+1/8+1/16.... all'infinito (quindi anche qui sono somme di infiniti termini) il totale è calcolabile (2)? Perchè in questo caso il risultato è matematicamente calcolabile mentre nel caso proposto da me no? Quello che mi piacerebbe sapere è come viene considerato matematicamente quel calcolo, se indecidibile, o con più risultati o è da considerarsi senza senso?
"oliottavio":
Perchè in questo caso il risultato è matematicamente calcolabile mentre nel caso proposto da me no?
Non è proprio così ...
Il risultato che tu trovi (2) non è propriamente la somma, ma il limite a cui quella somma tende; detto in un altro modo, più grossolano, con il concetto di limite delle somme parziali di una successione siamo riusciti a trovare un numero che meglio di TUTTI gli altri identifica quella somma infinita; per quanti sforzi tu faccia, non riuscirai a trovare un numero "migliore" di quello per dare un valore a quella somma; e quel numero è così "buono" che lo puoi usare "al posto" di quella somma.
Nei casi da te proposti, invece, non si riesce a trovare un numero "unico" che si comporti allo stesso modo.
Spero di esserti stato utile ...
Cordialmente, Alex
C'è un teorema sulla "riordinabilità" delle serie numeriche detto di Riemann-Dini:
dai un occhiata in rete(anche in giro sul Forum,nella sezione Analisi,dovresti trovare un bel po' di post),nel caso,
e se qualcosa non è chiaro posta pure qui(almeno che qualche moderatore non sposti il messaggio in quella stanza)
che ne parliamo.
Saluti dal web.
dai un occhiata in rete(anche in giro sul Forum,nella sezione Analisi,dovresti trovare un bel po' di post),nel caso,
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che ne parliamo.
Saluti dal web.
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