Problema probabilità
Si tagli una sfera in due casualmente con un piano e si scelga poi a caso un punto sulla sua superficie, quale è la probabilità che il punto si trovi sulla superficie minore o uguale all'altra?
(se è un giochino già inserito, chiedo venia, inserite sotto il link).
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Risposte
Trovo lo stesso risultato, ma come l'hai risolto?
Il sistema che ho usato non mi piace tanto, e dubitavo fosse corretto.
Ma poi questo valore rimane fisso nelle dimensioni superiori?
In 2 dimensioni con cerchio e retta sempre 1/4 viene (mi sembra). In una dimensione pensandoci forse non ha senso il problema perchè la superficie esterna si riduce a due punti e il taglio non la divide in modo analogo.
Il sistema che ho usato non mi piace tanto, e dubitavo fosse corretto.
Ma poi questo valore rimane fisso nelle dimensioni superiori?
In 2 dimensioni con cerchio e retta sempre 1/4 viene (mi sembra). In una dimensione pensandoci forse non ha senso il problema perchè la superficie esterna si riduce a due punti e il taglio non la divide in modo analogo.
Tu sai quale dovrebbe essere la risposta?
Il mio è più che altro un tentativo, neanche tanto convinto ...
Cordialmente, Alex
Il mio è più che altro un tentativo, neanche tanto convinto ...
Cordialmente, Alex
No non lo so in generale, non è un problema che ho trovato da qualche parte.
Ah, allora speriamo che qualche statistico passi di qua 
Potrebbe anche essere ...
Cordialmente, Alex
Potrebbe anche essere ...
Cordialmente, Alex
"bub":
Si tagli una sfera in due casualmente con un piano e si scelga poi a caso un punto sulla sua superficie, quale è la probabilità che il punto si trovi sulla superficie minore o uguale all'altra?
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Come si taglia una sfera in due "casualmente"? Non ci sono problemi come https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_di_Bertrand ?
"ghira":
[quote="bub"]Si tagli una sfera in due casualmente con un piano e si scelga poi a caso un punto sulla sua superficie, quale è la probabilità che il punto si trovi sulla superficie minore o uguale all'altra?
(se è un giochino già inserito, chiedo venia, inserite sotto il link).
Come si taglia una sfera in due "casualmente"? Non ci sono problemi come https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_di_Bertrand ?[/quote]
Infatti mi sa che non ho chiarito una cosa. Ho supposto fosse sottinteso che si scegliesse il taglio in relazione ai punti sulla circonferenza e i punti sulla sfera, avrei dovuto esplicitarlo per evitare ambiguità. Non so se axpgn l'ha interpretato già così il problema.
Un taglio nel mio caso corrisponderebbe in due dimensioni a scegliere due punti a caso distinti sulla circonferenza e in tre a scegliere tre punti a caso distinti sulla superficie sferica.
@ghira
Non ci sono problemi perché lo decido io come tagliare la sfera mica Bertrand
(che poi lui non decideva per niente 
)
Idee tue?
@bub
Più o meno così
Cordialmente, Alex
Non ci sono problemi perché lo decido io come tagliare la sfera mica Bertrand
(che poi lui non decideva per niente )Idee tue?
@bub
Più o meno così
Cordialmente, Alex
Aggiungo solo un commento...
Io la faccio più semplice (se la faccio anche giusta non lo so )
In qualsiasi modo venga tagliata la sfera, la posso sempre vedere come se fosse tagliata orizzontalmente, con la calotta più piccola sopra (perché la probabilità dovrebbe cambiare a seconda di come la guardo?)
Dato che tutti i punti della sfera sono equiprobabili, la probabilità che cada sulla superficie minore allora dipenderà solo dalla sua estensione rispetto alla superficie totale.
Quindi $1/4$
IMHO
Cordialmente, Alex
)In qualsiasi modo venga tagliata la sfera, la posso sempre vedere come se fosse tagliata orizzontalmente, con la calotta più piccola sopra (perché la probabilità dovrebbe cambiare a seconda di come la guardo?)
Dato che tutti i punti della sfera sono equiprobabili, la probabilità che cada sulla superficie minore allora dipenderà solo dalla sua estensione rispetto alla superficie totale.
Quindi $1/4$
IMHO
Cordialmente, Alex
Provo a spiegare cosa potrebbe succedere anche in tre dimensioni per cui poi magari non ci troviamo 1/4 scendendo a due dimensioni.
Usando il sistema di taglio che seleziona due punti sulla circonferenza, se si dovesse stimare quante sezioni parallele a questo diametro dato sono presenti nella parte blu bisogna concludere che sono di più di quelle presenti nella parte gialla, quelle nella parte gialla di più di quelle nella parte verde, e quelle nella parte verde di più di quelle nella parte rossa.
Questo dipende molto da come si è scelto di tagliare, il commento precendete di ghira è stato utile a chiarire la cosa.
Se avessimo deciso di tagliare la circonferenza scegliendo prima un diametro a caso (con due punti sulla circonferenza) e poi un punto su questo diametro e la perpendicolare-taglio passante per questo, i tagli paralleli non si sarebbero concentrati in due dimensioni vicini al taglio tangente limite ma sarebbero stati uniformi rispetto all'arco blu, i due archi gialli e così via.
In tre dimensioni a me non è chiaro cosa succede se si selezionano solo i tagli paralleli (col sistema dei tre punti scelti a caso). Potrebbe lo stesso succedere qualcosa di analogo nonostante le aree a differenza degli archi siano uguali.
Se facciamo ruotare questo cerchio attorno all'asse orizzontale viene fuori una sfera in cui l'area blu è uguale all'area gialla, alla verde e alla rossa, ma non si può concludere secondo me che tutti i tagli paralleli non si concentrino in modo analogo nella periferia vicini al taglio tangente limite, o almeno a me manca qualche passaggio.
Anche io osservando questa cosa ho ragionato in modo analogo al tuo, ma non ne sono ancora tanto sicuro.
Provo a proporre il problema nella sezione relativa alla probabilità, pensavo fosse un gioco semplicle
Usando il sistema di taglio che seleziona due punti sulla circonferenza, se si dovesse stimare quante sezioni parallele a questo diametro dato sono presenti nella parte blu bisogna concludere che sono di più di quelle presenti nella parte gialla, quelle nella parte gialla di più di quelle nella parte verde, e quelle nella parte verde di più di quelle nella parte rossa.
Questo dipende molto da come si è scelto di tagliare, il commento precendete di ghira è stato utile a chiarire la cosa.
Se avessimo deciso di tagliare la circonferenza scegliendo prima un diametro a caso (con due punti sulla circonferenza) e poi un punto su questo diametro e la perpendicolare-taglio passante per questo, i tagli paralleli non si sarebbero concentrati in due dimensioni vicini al taglio tangente limite ma sarebbero stati uniformi rispetto all'arco blu, i due archi gialli e così via.
In tre dimensioni a me non è chiaro cosa succede se si selezionano solo i tagli paralleli (col sistema dei tre punti scelti a caso). Potrebbe lo stesso succedere qualcosa di analogo nonostante le aree a differenza degli archi siano uguali.
Se facciamo ruotare questo cerchio attorno all'asse orizzontale viene fuori una sfera in cui l'area blu è uguale all'area gialla, alla verde e alla rossa, ma non si può concludere secondo me che tutti i tagli paralleli non si concentrino in modo analogo nella periferia vicini al taglio tangente limite, o almeno a me manca qualche passaggio.
Anche io osservando questa cosa ho ragionato in modo analogo al tuo, ma non ne sono ancora tanto sicuro.
Provo a proporre il problema nella sezione relativa alla probabilità, pensavo fosse un gioco semplicle
"axpgn":
@ghira
Idee tue?
1: Scelgo un punto uniformemente a caso su un diametro della sfera. Prendo un piano perpendicolare al diametro in quel punto e taglio la sfera così.
2: Scelgo un punto uniformemente a caso dentro la sfera. Prendo il diametro che passa per quel punto. Prendo il piano perpendicolare al diametro, in quel punto. Taglio la sfera.
3: Prendo due punti a caso sulla superficie della sfera. Disegno un cerchio con uno dei punto come centro, passando per l'altro punto.
4: Prendo tre punti a caso sulla superficie della sfera. Prendo il cerchio che passa per tutti e tre.
Magari ci sono anche altri metodi.
"ghira":
[quote="axpgn"]@ghira
Idee tue?
1: Scelgo un punto uniformemente a caso su un diametro della sfera. Prendo un piano perpendicolare al diametro in quel punto e taglio la sfera così.
2: Scelgo un punto uniformemente a caso dentro la sfera. Prendo il diametro che passa per quel punto. Prendo il piano perpendicolare al diametro, in quel punto. Taglio la sfera.
3: Prendo due punti a caso sulla superficie della sfera. Disegno un cerchio con uno dei punto come centro, passando per l'altro punto.
4: Prendo tre punti a caso sulla superficie della sfera. Prendo il cerchio che passa per tutti e tre.
Magari ci sono anche altri metodi.[/quote]
Questo sistema qua avevo in mente all'inizio, ma non l'ho esplicitato.
Io comunque ho chiarito il metodo il taglio che volevo usare: sono tre punti distinti scelti a caso sulla superficie sferica. Rispetto a questo taglio vorrei calcolare la probabilità che il quarto punto scelto a caso sulla superficie cada nella parte più piccola (non strettamente) di superficie. Ma l'ho già scritto chiaramente prima nel messaggio precedente in cui ti rispondevo ghira.
Un taglio nel mio caso corrisponderebbe in due dimensioni a scegliere due punti a caso distinti sulla circonferenza e in tre a scegliere tre punti a caso distinti sulla superficie sferica.
Chiarita l'ambiguità iniziale (in cui "taglio" poteva essere interpretato in più modi) non c'è più nulla di cui discutere, bisogna solo cercare di risolvere il problema.
Ho fatto un esempio di taglio diverso dove i tagli paralleli in due dimensioni sono equamente distribuiti orizzontalmente per mostrare che i tagli paralleli non sono distribuiti equamente in due dimensioni rispetto al metodo di taglio del problema specifico che ho proposto.
Chiedo scusa per la formulazione iniziale che risultava ambigua.
Il quesito che volevo proporre è il 4.
@ghira
Non intendevo chiederti quale metodo sceglieresti, quello non è un problema, l'abbiamo già scelto noi
Invece, come ricaveresti la probabilità?
Perché? Sono infinite sia le une che le altre quindi se non definisci un metodo per confrontarle non puoi concludere che "sono di più" ... IMHO
Comunque, rimango convinto della mia idea: in qualsiasi modo tagli la sfera, puoi sempre vedere il taglio come orizzontale e la calotta piccola soprastante; a questo punto diventa solo una questione di rapporto tra superfici.
Io vedo questa situazione concettualmente diversa dal paradosso di Bertrand perché in quel caso si devono confrontare due misure mentre qui abbiamo un problema di "appartenenza".
È come se avessi una moneta in cui la probabilità che esca testa sia variabile tra zero e un mezzo ($0<=p<=1/2$); qual è la probabilità che, mediamente, esca testa ? Per me $1/4$.
Cordialmente, Alex
Non intendevo chiederti quale metodo sceglieresti, quello non è un problema, l'abbiamo già scelto noi
Invece, come ricaveresti la probabilità?
"bub":
Usando il sistema di taglio che seleziona due punti sulla circonferenza, se si dovesse stimare quante sezioni parallele a questo diametro dato sono presenti nella parte blu bisogna concludere che sono di più di quelle presenti nella parte gialla,
Perché? Sono infinite sia le une che le altre quindi se non definisci un metodo per confrontarle non puoi concludere che "sono di più" ... IMHO
Comunque, rimango convinto della mia idea: in qualsiasi modo tagli la sfera, puoi sempre vedere il taglio come orizzontale e la calotta piccola soprastante; a questo punto diventa solo una questione di rapporto tra superfici.
Io vedo questa situazione concettualmente diversa dal paradosso di Bertrand perché in quel caso si devono confrontare due misure mentre qui abbiamo un problema di "appartenenza".
È come se avessi una moneta in cui la probabilità che esca testa sia variabile tra zero e un mezzo ($0<=p<=1/2$); qual è la probabilità che, mediamente, esca testa ? Per me $1/4$.
Cordialmente, Alex
Per sfizio, ho fatto una simulazione (grossolana) e mi trovo molto vicino ad $1/4$
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
axpgn scusami pensavo non si potesse ripetere proprio lo stesso messaggio con le stesse parole e formulazione. Lo volevo riformulare proprio il problema anche per evitare l ambiguità iniziale.
Comunque l ho inserito prima di leggere della simulazione. Cancellalo proprio l altro.
Come l hai impostata a grandi linee la simulazione?
Comunque l ho inserito prima di leggere della simulazione. Cancellalo proprio l altro.
Come l hai impostata a grandi linee la simulazione?
Niente di che, ho semplicemente generato un numero a caso tra zero e uno (il piano) e poi un altro (il punto) e li ho confrontati per stabilire se il punto stava dalla parte piccola o da quella grande. L'ho fatto cento volte per cinquanta tornate e il rapporto tra grande e piccola è molto vicino a tre a uno (come dovrebbe essere).
Se vuoi farla precisa come tu la vuoi, genera le coordinate (latitudini e longitudine) di quattro punti a caso e vedi dove sta messo il quarto.
Peraltro siamo sempre lì cioè se è vero che la probabilità dipende dalla superficie della calotta, allora siccome questa dipende linearmente da $h$, i valori sono quelli.
Ovviamente "se è vero che ..."
Altrettanto ovviamente non posso cancellare i tuoi messaggi (pensa se ogni utente potesse farlo ); lo puoi fare solo tu sempre che qualcuno non abbia già risposto al tuo messaggio.
Se puoi, cancellalo, riformula qui il tuo problema ed eventualmente spiega il perché.
Cordialmente, Alex
Se vuoi farla precisa come tu la vuoi, genera le coordinate (latitudini e longitudine) di quattro punti a caso e vedi dove sta messo il quarto.
Peraltro siamo sempre lì cioè se è vero che la probabilità dipende dalla superficie della calotta, allora siccome questa dipende linearmente da $h$, i valori sono quelli.
Ovviamente "se è vero che ..."
Altrettanto ovviamente non posso cancellare i tuoi messaggi (pensa se ogni utente potesse farlo
); lo puoi fare solo tu sempre che qualcuno non abbia già risposto al tuo messaggio.Se puoi, cancellalo, riformula qui il tuo problema ed eventualmente spiega il perché.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Perché? Sono infinite sia le une che le altre quindi se non definisci un metodo per confrontarle non puoi concludere che "sono di più" ... IMHO
Volevo solo chiarire questo punto, sono di più nel senso che se i tagli li selezioni in base a coppie di punti sulla circonferenza e il numero di punti che produce la variabile casuale è proporzionale alle lunglezze, ci saranno "più" tagli paralleli ad un taglio dato nella zona blu rispetto a quelli che vedrai comparire nella zona gialla perché la lunghezza della linea blu è maggiore delle gialle.
Se in un ipotetico esperimento montecarlo scegli i tagli con coppie di punti sulla circonferenza con delle variabili casuali che scelgono i punti su questa rispettando le proporzioni relative alle lunghezze e selezioni alcuni tagli approssimativamnete paralleli ad un taglio dato (con un margine di errore accettabile e non troppo basso altrimenti è molto probabile che non li vedrai comparire mai), li vedrai comparire più spesso nella zona blu rispetto a quelli che vedrai comparire nella zona gialla.
Ma comunque se prendi direttamente tutti i tagli sarà ancora più immediato osservare che ce ne saranno di più con i due vertici nella zona blu rispetto a quelli che li hanno nella zona gialla.
Non so come esprimere questo concetto con altre parole e ho usato "sono di più" per dare un'idea della cosa.
Ho letto quel che hai scritto axpgn, ma non riesco a convincermi per bene ancora.
Se prendi due segmenti (o due archi di circonferenza come in questo caso) di lunghezza diversa, NON hai "più" punti in uno rispetto all'altro, sono infiniti allo stesso modo.
Ma hai due lunghezze diverse, questo sì, ed è questa differenza che conta, non i punti.
È quello che sostengo dall'inizio, confrontando le superfici della calotta con quella della sfera (ma non i punti).
Cordialmente, Alex
Ma hai due lunghezze diverse, questo sì, ed è questa differenza che conta, non i punti.
È quello che sostengo dall'inizio, confrontando le superfici della calotta con quella della sfera (ma non i punti).
Cordialmente, Alex
Mi sa che non sono riuscito a spiegarmi, sono infiniti entrambi ma una variabile casuale che sceglie un punto a caso sulla circonferenza tenderà a distribuire piú punti in uno dei due archi (quello piú lungo) in ogni istante finito dell esperimento da un certo punto in poi.
Conseguentemente si conteranno piú corde formate solo con punti su archi piú lunghi rispetto ad altri in ogni momento dell'esperimento se le corde le formi tramite questi punti scelti in questo modo.
Ho solo chiarito cosa intendevo quando ho scritto che ce ne sono di piú, non era un affermazione relativa alla geometria, si sa che gli insiemi di punti sugli archi sono equipotenti, ma al problema specifico.
Conseguentemente si conteranno piú corde formate solo con punti su archi piú lunghi rispetto ad altri in ogni momento dell'esperimento se le corde le formi tramite questi punti scelti in questo modo.
Ho solo chiarito cosa intendevo quando ho scritto che ce ne sono di piú, non era un affermazione relativa alla geometria, si sa che gli insiemi di punti sugli archi sono equipotenti, ma al problema specifico.
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