Problema probabilità

[40rob]

Si tagli una sfera in due casualmente con un piano e si scelga poi a caso un punto sulla sua superficie, quale è la probabilità che il punto si trovi sulla superficie minore o uguale all'altra?
(se è un giochino già inserito, chiedo venia, inserite sotto il link).

[Super Squirrel]

Tornando al quesito iniziale: detta $h$ l'altezza della calotta sferica sottostante al piano orizzontale di taglio, la probabilità che un generico punto appartenente alla superficie della sfera ricada sulla calotta considerata, sarà dato (come al solito) dal rapporto tra i casi favorevole su quelli totali, ossia

$(2pirh)/(4pir^2)=h/(2r)$

Si evince quindi che lo scenario descritto risulta equivalente al caso monodimensionale di un segmento di lunghezza $2r$ tagliato in due parti di generica lunghezza $h$ e $2r-h$.

Detto questo, ho provato anche io ad implementare una rudimentale simulazione in C

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

int main()
{
    srand(time(0));
    unsigned int n = 1000000;
    unsigned int m = 0;
    for(unsigned int i = 0; i < n; ++i)
    {
        double h = (double)rand() / RAND_MAX;
        double d = (double)rand() / RAND_MAX;
        if(h <= 0.5 && d <= h || h > 0.5 && d >= h)
        {
            ++m;
        }
    }
    printf("%f\n", (double)m / n);
    return 0;
}

ed effettivamente il programma mi ritorna sempre un valore molto prossimo ad $1/4$.

Sto inoltre cercando di formalizzare il problema rifacendomi al seguente schema:



Detti $h$ e $d$ rispettivamente l'ordinata del taglio e del punto casuale, ho considerato gli eventi:

- $A_1: h<=r => P(A_1)=1/2$;
- $A_2: d<=h => P(A_2)=h/(2r)$;
- $B_1: h>r => P(B_1)=1/2$;
- $B_2: d>=h => P(B_2)=(2r-h)/(2r)=1-h/(2r)$;

A questo punto ipotizzando che gli eventi $A_1$ e $A_2$, e $B_1$ e $B_2$, siano tra loro indipendenti ( ), ho calcolato la probabilità ricercata come:

$p=P(A_1nnA_2)+P(B_1nnB_2)=P(A_1)*P(A_2)+P(B_1)*P(B_2)=1/2$

Ma come si può notare qualcosa non torna!

[40rob]

$A_1$ e $A_2$ già non sono indipendenti, se è vero che $h <= r$ ($A_1$ si verifica) dividendo l'equazione precedente per $2r$ ($h/(2r) <= r/(2r) -> h/(2r) <= 1/2$) la probabilità di $A_2$ diventa minore o uguale a $1/2$ mentre se non è vero che $h <= r$ (cioé $h > r$) la probabilità di $A_2$ diventa maggiore di $1/2$.
Se è indipendente non dovrebbe rimanere fissa la probabilità di $A_2$ al verificarsi o falsificarsi dell'altro evento $A_1$ senza variare nei due casi?

[Super Squirrel]

Come si può notare dall'emoticon utilizzata nel precedente post, il mio dubbio sta proprio lì.
In effetti un ragionamento simile al tuo mi aveva già portato a dubitare della validità dell'ipotesi di indipendenza, ma il problema è che proprio non saprei calcolare $P(A_1nnA_2)$ nell'ipotesi che i due eventi siano dipendenti!

[40rob]

Sono tornato a dare un'occhiata.
Io ho provato a calcolare il valore corretto col "metodo montecarlo" ma viene fuori questo valore qua...

$0.312...$

Non viene $1/4$ (se non ho sbagliato a scrivere il programma ).
Per scegliere i punti veramente a caso su una superficie sferica di raggio $1$ e con una distribuzione corretta ho usato due variabili casuali...

$a \in [-1, 1]$
$b \in [0, 2*pi[$

e poi ho calcolato

$x = \sqrt(1 - a^2) * cos(b)$
$y = \sqrt(1 - a^2) * sin(b)$
$z = a$

Ho scelto quindi con questo sistema prima i tre punti "a caso" sulla sfera di raggio $1$ (con centro nell'origine degli assi) e poi in base a questi ho determinato la distanza $h$ dal centro del cerchio che li circoscrive (dalla sfera) per calcolare poi l'ampiezza della superficie con la formula $2*pi*h$ (il raggio della sfera è $1$ per questo non compare).
Ho ripetuto l'esperimento $n$ volte (con un $n$ abbastanza grande) e fatto una media aritmetica delle superfici minori che venivano fuori ad ogni esperimento (sommandole tutte e dividendole per $n$).
Per tirare fuori la probabilità ho diviso poi questo risultato (questa media aritmetica delle superfici) per $4*pi$ (tutta la superficie della sfera di raggio $1$).
(quest'ultimo è solo un artificio matematico per evitare di scegliere il quarto punto a caso).

P. S. ho chiarito più volte che la sfera va tagliata con tre punti scelti "a caso" (con una distribuzione che rispetta la proporzione tra le aree) sulla sua superficie, se si taglia con altri sistemi la probabilità generale che il quarto punto scelto a caso sulla superficie cada nella parte minore può cambiare. Sto parlando di questo problema specifico qua.