Problema di probabilità

[Sdavas]

Buongiorno, inserisco un problema di probabilità che ho risolto ma il risultato ottenuto non coincide con la risposta presente nel libro.

"Amir e Brigitte giocano a carte. Amir inizia con una mano di 6 carte: 2 rosse, 2 gialle e 2 verdi. Brigitte inizia con una mano di 4 carte: 2 viola e 2 bianche.
Amir gioca per primo. Amir e Brigitte si alternano. Ad ogni turno, il giocatore sceglie a caso una delle proprie carte e la mette sul tavolo. Le carte rimangono sul tavolo per il resto della partita. Un giocatore vince e il gioco
termina quando hanno messo sul tavolo due carte dello stesso colore. Determinare la probabilità che Amir vinca la partita."

Durante i suoi primi due turni, Brigitte sceglie due carte dello stesso colore o due carte di diversi colori.
Se sceglie due carte di colore diverso, al suo terzo turno, deve scegliere una carta che corrisponda a una delle carte che ha già.
Pertanto, il gioco termina prima del terzo turno di Brigitte.
Quindi, se Amir vince, vince al suo secondo turno o al suo terzo turno.
Ho calcolato i casi favorevoli ad Amir con un grafo ad albero.

Ho considerato la prima carta rossa, essendo i casi identici se la prima è gialla o verde.
Nel seguito indico R=rossa, G=gialla, V=verde, P=porpora, B=bianca
Casi favorevoli ad Amir:
R-P-R (4 possibilità) [La rossa e la porpora possono venire scelte in 2 modi ciascuna]
R-P-G-B-G (16 possibilità)
R-P-G-B-R (16 possibilità)
R-P-V-B-V (16 possibilità)
R-P-V-B-R (16 possibilità)
R-B-R (4 possibilità)
R-B-G-P-R (16 possibilità)
R-B-G-P-G (16 possibilità)
R-B-V-P-R (16 possibilità)
R-B-V-P-V (16 possibilità)

In totale: (16 x 8 + 4 x 2) x 3 = 408
(Ho moltiplicato per 3 perchè la prima carta scelta può essere di tre colori diffrenti)

Casi favorevoli a Brigitte:
R-P-G-P (8 possibilità)
R P G B V P (32 possibilità)
R P G B V B (32 possibilità)
R P V P (8 possibilità)
R P V B G P (32 possibilità)
R P V B G B (32 possibilità)

R-B-G-B (8 possibilità)
R B G P V B (32 possibilità)
R B V P G P (32 possibilità)
R B V B (8 possibilità)
R B V P G B (32 possibilità)
R B G P V P (32 possibilità)

In totale: (32 x 8 + 8 x 4) x 3 = 864
Non ho individuato altri casi possibili
Quindi la probabilità che vinca Amir a me risulta = 408/(864+408) = 17/53.

La risposta del testo è invece 7/15.
Non capisco questo divario tra le risposte.
Ringrazio in anticipo se qualcuno vuole cimentarsi nella risolzione di questo problema.
Cordiali saluti.

[axpgn]

Mi pare che il testo abbia ragione.

I primi due tiri non "contano".

Al terzo, Amir ha $1/5$ di probabilità di vittoria quindi $4/5$ di proseguire.
Al quarto, Brigitte ha quindi una probabilità di vincere pari a $1/3*4/5=4/15$ mentre è $8/15$ quella di proseguire.
Al quinto lancio, Amir ha una probabilità di vittoria pari a $1/2*8/15=4/15$ mentre è pari a $4/15$ la probabilità che si prosegua e quindi vinca Brigitte.
Complessivamente quindi Brigitte ha una probabilità di vittoria pari a $4/15+4/15=8/15$ e di conseguenza la probabilità di vittoria di Amir è $7/15$

Cordialmente, Alex

[Sdavas]

Grazie per la celere risposta!
Volendo però risolvere il problema contando tutti i casi favorevoli rispetto a tutti i casi possibili (con il grafo ad albero), il risultato deve coincidere.
Ad esempio ho considerato che Amir riesce a vincere al suo secondo turno estraendo una carta rossa al primo turno in questi casi:
R1 P1 R2
R1 P2 R2
R2 P1 R1
R2 P2 R2

Sono andato avanti in questo modo per ottenere 408 casi favorevoli ad Amir.

Per i casi favorevoli a Brigitte ho provato a considerare una sola volta i casi R P G B V P e R P G B V B in quanto portano sempre alla vittoria di Brigitta.
Così i casi favorevoli a Brigitta mi risultano:

R-P-G-P (8 possibilità)
R P G B V (32 possibilità)
R P V P (8 possibilità)
R P V B G (32 possibilità)

R-B-G-B (8 possibilità)
R B V P G (32 possibilità)
R B V B (8 possibilità)
R B G P V (32 possibilità)

In totale: (32 x 4 + 8 x 4) x 3 = 480

Quindi la probabilità che vinca Amir = 408/(480+408) = 17/37, quindi ancora non ho ottenuto il risultato corretto.

Ringrazio in anticipo chi vuole provare a risolvere con questa modalità il problema.
Cordiali saluti.

[axpgn]

Se conti bene i vari casi, vedrai che ti torna il risultato del testo