Problema di massimo

[ficus2002]

Siano $A$ e $B$ due interi positivi. Determinare il massimo della funzione
$\sum_{k=1}^n max{a_k,b_k}$
al variare di $n\in NN$ e degli interi positivi $a_1,\ldots,a_N$ e $b_1,\ldots,b_N$ tali che
$a_1+\cdots +a_N\le A$
$b_1+\cdots +b_N\le B$.

[elgiovo]

Supponiamo WLOG $A>=B$ e vediamo cosa succede al crescere di $n$:

$n=1$ - conviene prendere $a_1=A$ e $b_1=B$. La funzione vale $max{A,B}=A$;
$n=2$ - conviene prendere $a_1=A-1$, $a_2=1$, $b_1=1$, $b_2=B-1$. La funzione vale $max{A-1,1}+max{1,B-1}=A-1+B-1=A+B-2$;
$n=3$ - conviene prendere $a_1=A-2$, $a_2=1$, $a_3=1$, $b_1=1$, $b_2=1$, $b_3=B-2$. La funzione vale $max{A-2,1}+max{1,1}+max{1,B-2}=A-2+1+B-2=A+B-3$;
...

Il discorso si generalizza: se $n=k$ allora la funzione, massimizzata, vale $A+B-k$, fintantochè $B>=k$ (successivamente non si può più partizionare $B$ in interi positivi).

Dunque $max_(n<=B){sum_(k=1)^n max{a_k,b_k}}=A+B-2$ (tranne nei casi banali in cui $B<2$).

[ficus2002]

"elgiovo":Dunque $max_(n<=B){sum_(k=1)^n max{a_k,b_k}}=A+B-2$ (tranne nei casi banali in cui $B<2$).

Ok, concordo con la tua soluzione. Ora, volevo proporre un'altra versione, più complicata, dello stesso problema.
Sono dati:
$cc A$ insieme finito di interi positivi la cui somma è $A$
$cc B$ insieme finito di interi positivi la cui somma è $B$
Si vuole massimizzare la stessa funzione di prima, al variare di $n\in NN$ è di ${a_i,b_i}_{i=1}^n$ tali che
ogni $a_i$ è somma di elementi di $cc A$ e $a_1+\cdots+a_n=A$
ogni $b_i$ è somma di elementi di $cc B$ e $b_1+\cdots+b_n=B$.