Problema della Normale!
Ciao a tutti! è un po' ke non mi faccio vivo ma adesso torno impetuoso! 
C'è un problema molto interessante del test di ammissione alla Scuola Normale Superiore di Pisa: io sono riuscito a risolverlo solo per metà, alcuni casi mi sfuggono ancora. Il problema è il seguente:
Sono dati, in un piano, un cerchio e due punti. Tracciare una tangente al cerchio in modo che la somma delle distanze dei due punti dalla tangente sia uguale ad un valore $k$ dato.
Buon divertimento, please postate le vostre soluzioni!
C'è un problema molto interessante del test di ammissione alla Scuola Normale Superiore di Pisa: io sono riuscito a risolverlo solo per metà, alcuni casi mi sfuggono ancora. Il problema è il seguente:
Sono dati, in un piano, un cerchio e due punti. Tracciare una tangente al cerchio in modo che la somma delle distanze dei due punti dalla tangente sia uguale ad un valore $k$ dato.
Buon divertimento, please postate le vostre soluzioni!
Risposte
i due punti del piano sono generici? o devono / non devono appartenere al cerchio?
Il testo non lo specifica: sono tutti casi da distinguere... a seconda che i due punti siano interni, appartenenti o esterni alla circonferenza, dovrebbero esserci in tutto $3^2 = 9$ casi da esaminare, salvo semplificazioni ovviamente.
Un modo potrebbe essere risolverlo con l'analitica ho abbozzato su un foglio un sistema a due incognite (m e q di un fascio) e in effetti si può arrivare a 2 equazioni - quella del fascio di tangenti alla circonferenza e quella della somma di due distanze punto-retta uguali a k - e quindi risolverlo, ma è abbastanza da spararsi...se vuoi ti scrivo i passaggi...in tutti i casi è indipendente la reciproca posizione dei punti rispetto alla circonferenza...
p.s:spero che sia i punti sia la circonferenza si trovino sullo stesso piano...
p.s:spero che sia i punti sia la circonferenza si trovino sullo stesso piano...
sìsì il problema specifica che si parla di UN piano!
penso ke sia un valido metodo anke perché in genere quei metodi bruti funzionano sempre!
Però io speravo in una soluzione basata unicamente sulla geometria euclidea SINTETICA! per esempio, io per ora sono riuscito a pervenire a questo risultato, se i punti sono ESTERNI alla circonferenza:
chiamati $P, Q$ e $Gamma$ i due punti e la circonferenza assegnati, se $k >= PQ$, allora sia $M$ il punto medio di $PQ$, e si tracci una circonferenza $Gamma'$ con centro in $M$ e raggio pari a $k/2$. Allora tutte le tangenti comuni a $Gamma$ e $Gamma'$ rispettano la proprietà assegnata.
Ma se $k
penso ke sia un valido metodo anke perché in genere quei metodi bruti funzionano sempre!
Però io speravo in una soluzione basata unicamente sulla geometria euclidea SINTETICA! per esempio, io per ora sono riuscito a pervenire a questo risultato, se i punti sono ESTERNI alla circonferenza:
chiamati $P, Q$ e $Gamma$ i due punti e la circonferenza assegnati, se $k >= PQ$, allora sia $M$ il punto medio di $PQ$, e si tracci una circonferenza $Gamma'$ con centro in $M$ e raggio pari a $k/2$. Allora tutte le tangenti comuni a $Gamma$ e $Gamma'$ rispettano la proprietà assegnata.
Ma se $k
Tanto di cappello se riesci a risolverlo senza usare l'analitica!
Tuttavia alla fine il mio metodo è più semplice di quel che pensavo...senza stare a ragionare su mettere a sistema retta generica e circonferenza, mettere il delta ugule a zero e così via...
$\{(r=\frac{|mx_C-1y_C+q|}{\sqrt{m^2+1}}),(k=\frac{|mx_P-1y_P+q|+|mx_Q-1y_Q+q|}{\sqrt{m^2+1}}):}$
Dove:
$r$ è il raggio della circonferenza;
$C$ è il centro della circonferenza;
$P$ e $Q$ sono i 2 punti;
$k$ è la somma delle distanze;
$y=mx+q$ e la retta che devi trovare.
Le uniche incognite sono $m$ e $q$ quindi è fattibile (diveriti :-D )...
Ho scritto un po' di fretta dimmi se ho scritto belinate...leggerò eventuali risposte domani...se ce la fai senza analitica hai tutta la mia stima!!
Tuttavia alla fine il mio metodo è più semplice di quel che pensavo...senza stare a ragionare su mettere a sistema retta generica e circonferenza, mettere il delta ugule a zero e così via...
$\{(r=\frac{|mx_C-1y_C+q|}{\sqrt{m^2+1}}),(k=\frac{|mx_P-1y_P+q|+|mx_Q-1y_Q+q|}{\sqrt{m^2+1}}):}$
Dove:
$r$ è il raggio della circonferenza;
$C$ è il centro della circonferenza;
$P$ e $Q$ sono i 2 punti;
$k$ è la somma delle distanze;
$y=mx+q$ e la retta che devi trovare.
Le uniche incognite sono $m$ e $q$ quindi è fattibile (diveriti :-D )...
Ho scritto un po' di fretta dimmi se ho scritto belinate...leggerò eventuali risposte domani...se ce la fai senza analitica hai tutta la mia stima!!
giusto... il sistema è un buon sistema!eheh
domani verificherò calcolando se quel sistema è effettivamente sempre risolvibile sotto le condizioni date, ma ad occhio mi pare di sì.
Comunque io continuo a cercare una soluzione sintetica, e se qualcuno ke legge questo post ha qualke idea, la posti!
domani verificherò calcolando se quel sistema è effettivamente sempre risolvibile sotto le condizioni date, ma ad occhio mi pare di sì.
Comunque io continuo a cercare una soluzione sintetica, e se qualcuno ke legge questo post ha qualke idea, la posti!
Anno 1960 prob.1: la soluzione è sul libro della Bollati dedicato.
Ma qual è?
"Gaal Dornick":
Ma qual è?
Il libro?
Comunque è del 1906: preso dalla stanchezza ho scritto male l'anno.
certo che la soluzione è sul libro, e ce l'ho, ma io mica la vado a vedere altrimenti che risoluzione è?
è ovvio che ho il libro e la soluzione, dal momento che l'ho postato, ma un problema così non è di nessuna utilità o comunque di ben poca utilità, dal punto di vista dell'esercizio d'intuizione, se si va a vedere meramente la sua soluzione!:D
Oggi continuerò a tentare di risolverlo, e il confronto con gli altri post sarà sicuramente utilissimo per la comune crescita mentale, nel caso in cui alcuni abbiano la voglia di cimentarsi con esso: solo una volta risolto, controllerò la soluzione.
Ciao a tutti!:)
è ovvio che ho il libro e la soluzione, dal momento che l'ho postato, ma un problema così non è di nessuna utilità o comunque di ben poca utilità, dal punto di vista dell'esercizio d'intuizione, se si va a vedere meramente la sua soluzione!:D
Oggi continuerò a tentare di risolverlo, e il confronto con gli altri post sarà sicuramente utilissimo per la comune crescita mentale, nel caso in cui alcuni abbiano la voglia di cimentarsi con esso: solo una volta risolto, controllerò la soluzione.
Ciao a tutti!:)
Per evitare un intervento troppo lungo, sorvolo sulle parti che ritengo più facili; se però volete ulteriori chiarimenti su queste, basta che li chiediate, indicando quali vi interessano.
Primo caso: A e B sono da parti opposte rispetto alla tangente t.
Per qualsiasi retta parallela a t e intersecante il segmento AB, la somma delle distanze da A e B è la stessa, quindi la parallela a t passante per B dista k da A. Disegno quindi il triangolo rettangolo ABR, con AR = k e traccio la tangente alla circonferenza parallela a BR: se interseca il segmento AB è una soluzione. La costruzione va ripetuta considerando anche il simmetrico di R rispetto ad AB e scambiando fra loro le lettere A e B: in tutto 4 possibilità.
Se k >AB il tutto non è possibile e questo primo caso non si verifica; se k = AB, al posto di BR considero la perpendicolare in B ad AB.
Secondo caso: A e B sono dalla stessa parte della tangente t.
Detto M il punto medio di AB, M dista k/2 da t; t è quindi tangente anche alla circonferenza di centro M e raggio k/2. Basta quindi disegnare le tangenti comuni alle due circonferenze, accettando poi quelle che lasciano dalla stessa parte A e B.
Non ho considerato il caso in cui A o B stanno sulla tangente, ma suppongo che rientri nel primo qui indicato.
Primo caso: A e B sono da parti opposte rispetto alla tangente t.
Per qualsiasi retta parallela a t e intersecante il segmento AB, la somma delle distanze da A e B è la stessa, quindi la parallela a t passante per B dista k da A. Disegno quindi il triangolo rettangolo ABR, con AR = k e traccio la tangente alla circonferenza parallela a BR: se interseca il segmento AB è una soluzione. La costruzione va ripetuta considerando anche il simmetrico di R rispetto ad AB e scambiando fra loro le lettere A e B: in tutto 4 possibilità.
Se k >AB il tutto non è possibile e questo primo caso non si verifica; se k = AB, al posto di BR considero la perpendicolare in B ad AB.
Secondo caso: A e B sono dalla stessa parte della tangente t.
Detto M il punto medio di AB, M dista k/2 da t; t è quindi tangente anche alla circonferenza di centro M e raggio k/2. Basta quindi disegnare le tangenti comuni alle due circonferenze, accettando poi quelle che lasciano dalla stessa parte A e B.
Non ho considerato il caso in cui A o B stanno sulla tangente, ma suppongo che rientri nel primo qui indicato.
però! ottima soluzione. Posso chiederti anche, a grandi linee, come hai fatto ad arrivarci passo passo?
La soluzione per il secondo caso mi è venuta in mente quasi subito: è abbastanza spontaneo pensare al punto medio di un segmento. Non ricordavo quale fosse la costruzione per le tangenti comuni e non avevo voglia di cercarla sui libri, ma poi ne ho trovata una, forse brutta, ma facile.
Il primo caso mi ha fatto tribolare di più; confesso di aver fatto ricorso agli inviluppi. Questi mi hanno mostrato l'esistenza di soluzioni indipendenti da q (mi riferisco a y=mx+q) e di lì è derivata l'idea che ho poi sviluppato.
Il primo caso mi ha fatto tribolare di più; confesso di aver fatto ricorso agli inviluppi. Questi mi hanno mostrato l'esistenza di soluzioni indipendenti da q (mi riferisco a y=mx+q) e di lì è derivata l'idea che ho poi sviluppato.
Effettivamente il primo caso è molto scontato ed era venuto in mente quasi subito anche a me. Ma cosa sono gli inviluppi?
Sono le curve così come "descritte" dalle loro tangenti; è un argomento fra l'analisi e l'analitica. Mi spiego con un esempio: pensa di cancellare e non conoscere una circonferenza, ma di avere una formula che ti dà tutte le sue tangenti: disegnandone parecchie, vedi comparire la circonferenza. La teoria degli inviluppi permette di trovarne l'equazione partendo dalla formula per le tangenti.
In questo problema non sono veramente necessari. Ho cercato quali sono le rette tali che la somma delle loro distanze da A(a,0) e B(-a,0) sia k, usando la formula y=mx+q e quella della distanza punto-retta: se i numeri compresi nei due valori assoluti hanno segno diverso vengono sottratti fra loro e q scompare: mi aspetto quindi che una traslazione della retta non abbia importanza e vado a verificarlo direttamente.
In questo problema non sono veramente necessari. Ho cercato quali sono le rette tali che la somma delle loro distanze da A(a,0) e B(-a,0) sia k, usando la formula y=mx+q e quella della distanza punto-retta: se i numeri compresi nei due valori assoluti hanno segno diverso vengono sottratti fra loro e q scompare: mi aspetto quindi che una traslazione della retta non abbia importanza e vado a verificarlo direttamente.
caspita... davvero molto interessante: infatti spesso mentre cercavo di risolvere questo problema, pensavo che se avessi saputo una cosa del genere sulle tangenti, il lavoro sarebbe stato molto più facile.
Questo è senz'altro un conforto, dato che dimostra che la capacità di risolvere problemi aumenta studiando, e non è una cosa solamente innata!
Questo è senz'altro un conforto, dato che dimostra che la capacità di risolvere problemi aumenta studiando, e non è una cosa solamente innata!
Ciao! Sono il tuo Tutor AI, il compagno ideale per uno studio interattivo. Utilizzo il metodo maieutico per affinare il tuo ragionamento e la comprensione. Insieme possiamo:
- Risolvere un problema di matematica
- Riassumere un testo
- Tradurre una frase
- E molto altro ancora...
Il Tutor AI di Skuola.net usa un modello AI di Chat GPT.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
Annuale
3,99€
-
Accedi a tutti gli appunti
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it
Trimestrale
7,99€
-
5 appunti ogni mese
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it
Mensile
12,79€
-
3 appunti ogni mese
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it