Problema dei numeri reversibili

[carlo232]

Scrivendo le cifre in modo stilizzato come ad esempio sul dispay di un orologio digitale si nota che:

Alcune cifre capovolte si trasformano in altre cifre ( 0,1,6,8,9 )

Alcune cifre capovolte non si trasformano in altre cifre ( 2,5,3,4,7 )

Questo è vero anche per i numeri ad esempio 18 capovolto diventa 81, invece 21 capovolto non è più un numero.

Attenzione! Non basta che tutte le cifre di un numero siano numeri anche se capovolte perchè il numero sia un numero anche se capovolto. Ad esempio 100 capovolto diventa 001.

Ora per $n$ intero quanti sono i numeri reversibili e $>=0$ e $<=10^n$?

Ciao!

[Sk_Anonymous]

Per adesso mi si e' capovolta la testa!!
Archimede

[carlo232]

"archimede":Per adesso mi si e' capovolta la testa!!
Archimede

è un giochino che mi ero inventato guardando il display della mia sveglia. Richiede la conoscenza del calcolo combinatorio.

Ciao!

[Sk_Anonymous]

Aut è troppo banale aut ho franteso tutto (sempre possibile)! La risposta è 2, se $n = 0$; $5 + 5^2 + ... + 5^n$, i.e. $5 \cdot \frac{5^n - 1}{4}$, se $n > 0$. In questo secondo caso, basta contare - senza contare - quanti sono i "numeri reversibili" in ciascuno degli intervalli interi $[0,10[$, $[10, 10^2[$, ..., $[10^{n-1}, 10^n[$.

[carlo232]

"HiTLeuLeR":Aut è troppo banale aut ho franteso tutto (sempre possibile)! La risposta è 2, se $n = 0$; $5 + 5^2 + ... + 5^n$, i.e. $5 \cdot \frac{5^n - 1}{4}$, se $n > 0$. In questo secondo caso, basta contare - senza contare - quanti sono i "numeri reversibili" in ciascuno degli intervalli interi $[0,10[$, $[10, 10^2[$, ..., $[10^{n-1}, 10^n[$.

Sei vicino, ma attento, tra $0$ e $100$ tu dici esserci 30 numeri reversibili, ma si hanno solo

0
1
6
8
9
11
16
18
19
61
66
68
69
81
86
88
89
91
96
98
99

cioè 21 numeri reversibili.

PS se ho contato male arrabbiati pure

[Sk_Anonymous]

That's right, dimenticavo che bisogna escludere tutti quelli che, al di là della decina, terminano con 0. Dunque vediamo... Nel caso n > 1, la risposta diventa $1 + 4*(5 + 5^2 + ... + 5^{n-1}) - 4*(1 + 5 + ... + 5^{n-2}) = 5^n - 5^{n-1} + 1$. E la formuletta funzica pure (a posteriori) se n = 1.

[carlo232]

"HiTLeuLeR":That's right, dimenticavo che bisogna escludere tutti quelli che, al di là della decina, terminano con 0. Dunque vediamo... Nel caso n > 1, la risposta diventa $1 + 4*(5 + 5^2 + ... + 5^{n-1}) - 4*(1 + 5 + ... + 5^{n-2}) = 5^n - 5^{n-1} + 1$. E la formuletta funzica pure (a posteriori) se n = 1.

eheh, adesso è giusto, come hai detto te è un problema piuttosto semplice bisogna solo ricordarsi quelli 0.

Ciao!