Problema con un polinomio
Dimostrare che non esiste nessun polinomio non costante $P(x)!=x$ tale che
$P(0)=0$
$P(x^5+1)=P^5(x)+1$
Ciao!
$P(0)=0$
$P(x^5+1)=P^5(x)+1$
Ciao!
Risposte
polinomio a coefficienti in...?
R? Q? Z? N?
R? Q? Z? N?
se fosse a coeff in N e' facile dimostrare che gli unici due polinomi possibili sarebbero
P(x)=0
e
P(x)=x
che tu hai escluso...
altrimenti devo pensarci ancora su...
P(x)=0
e
P(x)=x
che tu hai escluso...
altrimenti devo pensarci ancora su...
"Giusepperoma":
polinomio a coefficienti in...?
R? Q? Z? N?
in R
ok, proprio come sospettavo...
domanda...
ma tu conosci la soluziione o e' una domanda che ti sei posto?
ma tu conosci la soluziione o e' una domanda che ti sei posto?
"Giusepperoma":
domanda...
ma tu conosci la soluziione o e' una domanda che ti sei posto?
La conosco, è per assurdo
carlo ma da dove li tiri fuori tutti questi teoremi? (curiosità, non domanda provocatoria)
cioè te li inventi o li trovi su internet?
cioè te li inventi o li trovi su internet?
"eafkuor":
carlo ma da dove li tiri fuori tutti questi teoremi? (curiosità, non domanda provocatoria)
cioè te li inventi o li trovi su internet?
Questo lo trovato sul sito delle olimpiadi della matematica però invece di 5 c'era 3, l'ho generalizzato.
Faccio che dire la mia soluzione,è immediato dimostrare che se $P(x)=x$ allora $P(x^5+1)=x^5+1$, quindi l'equazione $P(x)=x$ ha infinite soluzioni. Consideriamo il polinomio $P(x)-x$ per ipotesi abbiamo che non è costante e per quanto detto sopra ha infiniti zeri, ma ciò è impossibile per un polinomio non costante, infatti negerebbe il teorema fondamentale dell'algebra.
Ciao!
P(x) = x
significa che il polinomio
x
(che poi e' un monomio) si chiama P,
la frase
P(x)=x ammette soluzioni
(a prescindere dal loro numero!) e' priva di significato!
significa che il polinomio
x
(che poi e' un monomio) si chiama P,
la frase
P(x)=x ammette soluzioni
(a prescindere dal loro numero!) e' priva di significato!
"Giusepperoma":
P(x) = x
significa che il polinomio
x
(che poi e' un monomio) si chiama P,
la frase
P(x)=x ammette soluzioni
(a prescindere dal loro numero!) e' priva di significato!
Forse mi sono spiegato male, se $P(x)=x$ allora $P(x^5+1)=x^5+1$ da cui sostituendo $y=x^5+1$ abbiamo $P(y)=y$.
Essendo che per ipotesi $P(0)=0$ abbiamo per quanto detto sopra che $P(1)=1$ e poi $P(2)=2$ e anche $P(33)=33$...
Quindi $P(a_n)=a_n$ dove gli $a$ sono definiti come
$a_0=0$
$a_n=a_(n-1)^5+1$
allora capita per infinite $x$ che $P(x)=x$.Spero di essermi spiegato meglio...
Ciao!
ora ho capito cosa intendi, ma non mi sembra che questo concluda la tua dimostrazione
P(x)=x
significa
P(a) = a; P(12345) = 12345;
ma questo e' implicitop nella definizione... senza bisogno di passare per P(x^5+1), no?
P(x)=x
significa
P(a) = a; P(12345) = 12345;
ma questo e' implicitop nella definizione... senza bisogno di passare per P(x^5+1), no?
"Giusepperoma":
ora ho capito cosa intendi, ma non mi sembra che questo concluda la tua dimostrazione
P(x)=x
significa
P(a) = a; P(12345) = 12345;
ma questo e' implicitop nella definizione... senza bisogno di passare per P(x^5+1), no?
Dicevo che capita per infinite $x$ che $P(x)=x$ quindi il polinomio $P(x)-x$ che per ipotesi non è costante si annulla infinite volte, ma ciò è impossibile per ogni polinomio non costante.
no, Carlo, non ci siamo...
P(x) = x capita per ogni x, non solo per infinite...
P(x) - x e' il polinomio nullo perr definizione...
P(x) = x capita per ogni x, non solo per infinite...
P(x) - x e' il polinomio nullo perr definizione...
"Giusepperoma":
no, Carlo, non ci siamo...
P(x) = x capita per ogni x, non solo per infinite...
P(x) - x e' il polinomio nullo perr definizione...
Non ti seguo proprio,
P(x) = x capita per ogni x
nelle ipotesi non c'è... chi lo ha detto?
ora sono io ad essere confuso...
ma non l'hai detto tu?
hai iniziato dicendo "se P(x)=x..."
"Giusepperoma":
:D
ora sono io ad essere confuso...
ma non l'hai detto tu?
hai iniziato dicendo "se P(x)=x..."
Si mi sono espresso male, nelle ipotesi intendevo che $P(x)$ non è identicamente uguale a polinomio $x$, nel senso che scritto $P(x)$ in forma estesa
$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_mx^m$
dove $m$ è il grado di $P$. Allora non si ha $a_0=0,a_1=1a_2=0,a_3=0,a_4=0...a_m=0$.
Nella dimostrazione dicevo se esiste $x$ tale che $P(x)=x$... e ciò e possibile anzi è certo a causa della condizione iniziale $P(0)=0$ .
Ad esempio il polinomio $x^2-x$ non è identicamente uguale a $x$, ma per $x=2$ si ha $x^2-x=x$.
ok... finalmente ci si riesce a capire...
"Giusepperoma":
ok... finalmente ci si riesce a capire...
Già, meno male... a volte uno si dimentica di precisare alcune cose che invece spesso sono importanti!
Ciao!
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