Problema carino con i primi

[carlo232]

Dimostrare che per ogni numero primo $p$

$ sum_(k=1)^(p-1) [ (k^3)/p ] =((p+1)(p-1)(p-2))/4$

ancora una volta $[ * ]$ è la parte intera.

Ciao Ciao

[carlo232]

"carlo23":Dimostrare che per ogni numero primo $p$

$ sum_(k=1)^(p-1) [ (k^3)/p ] =((p+1)(p-1)(p-2))/4$

ancora una volta $[ * ]$ è la parte intera.

Ciao Ciao

Beh, posto la soluzione, la formula vale per $p=2$ quindi concentriamoci solo sul caso $p$ dispari.

Abbiamo

$sum_(k=1)^(p-1) [ (k^3)/p ]=sum_(k=1)^({p-1}/2) [ (k^3)/p ]+sum_(k=1)^({p-1}/2) [ ((p-k)^3)/p ]=sum_(k=1)^({p-1}/2) [ (k^3)/p ]+[ ((p-k)^3)/p ]$

ora calcoliamo il valore di ogni addendo

$[ (k^3)/p ]+[ ((p-k)^3)/p ]=[ (k^3)/p ]+[ p^2-3pk+3k^2-(k^3)/p ]=p^2-3pk+3k^2+ [ (k^3)/p ] - [(k^3)/p]*$

dove $[x]*$ è il più piccolo intero maggiore di $x$. Essendo $p$ un numero primo e essendo $k non è un numero intero e quindi

$[ (k^3)/p ]+[ ((p-k)^3)/p ]=p^2-3pk+3k^2 - 1$

non resta che sommare tra $k=1$ e $(p-1)/2$ ,usando le formule per la somma delle prime $n$ 1-esime e 2-esime potenze, per trovare il risultato.

Ciao Ciao

[Sk_Anonymous]

Estremamente estetico, se posso!

[carlo232]

"DavidHilbert":Estremamente estetico, se posso!

Che velocità! ho appena postato... cosa intendi per estetico?

[Sk_Anonymous]

Che è molto bello?! Sì, che è molto bello.

[carlo232]

"DavidHilbert":Che è molto bello?! Sì, che è molto bello.

In effetti l'ho trovato un problema carino (come dice il titolo), a parte le due formule per la somma delle 1-esime e 2-esime potenze sono sufficienti metodi elementari per risolverlo.

Avevo visto da qualche parte un problema simile solo che con potenze frazionarie, se riesco dinuovo a trovarlo lo posto...

Ciao Ciao

[carlo232]

"carlo23":

Avevo visto da qualche parte un problema simile solo che con potenze frazionarie, se riesco dinuovo a trovarlo lo posto...

Ciao Ciao

Dimostrare che per ogni numero primo $p$ si ha

$sum_{k=1}^(p^2-1) [root(3)(kp)]=((p-1)(3p^2+p-2))/4$

ancora una volta $

$ è la parte intera. L'uguaglianza sopra è strettamente legata al problema del primo post, quindi vi suggerisco di ricondurla a quest'ultimo...

Ciao Ciao